ФИЛОСОФСКИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИЧЕСКУЮ БЕСКОНЕЧНОСТЬ М.Г.

Годарев-Лозовский Российское философское общество, Санкт-Петербург (Россия)

Введение. Задачей настоящей статьи является возможный философский взгляд на математиче[1]скую реальность с эвристических позиций, направленный в будущее науки. Взгляд на эту единую реальность «изнутри математики» может быть дополнен взглядом на неё «извне математики».

Методы. Мы показали, что на числовой прямой между двумя рациональными числами, обяза[1]тельно находится среднее арифметическое этих чисел, которое не учитывается при допущении акту[1]альной бесконечности множества знаков периодической дроби. Необходимо допустить: число 1 запи[1]сывается однозначным образом (т.е. как 1,000…) только в случае потенциальной бесконечности зна[1]ков дроби 0,999... Допущение потенциально бесконечного множества знаков справедливо обобщить на все периодические дроби. При этом отсутствуют логико-математические основания полагать, что всякая непериодическая дробь имеет последний знак и является конечной.

Основные идеи исследования, полученные результаты и их обсуждение. Нами установлено, что Дедекиндово сечение числовой прямой, реализуемое иррациональным числом, производится сразу и без пробелов, потому что непериодическая дробь актуально бесконечна. Иррациональное число про[1]изводит сечение континуума без пробела, потому что и иррациональное число, и континуум актуаль[1]но бесконечны. Потенциально бесконечный процесс сечения континуума рациональным числом, связанный с пробелом, никогда не может завершиться. Сечение, реализуемое рациональным числом, никогда не заканчивается потому, что периодическая дробь потенциально бесконечна.

Заключение. Впервые предложены достаточные логические основания гипотезе, что периодиче[1]ская дробь – потенциально бесконечна, а непериодическая дробь – актуально бесконечна.

Ключевые слова: континуум, потенциальная и актуальная бесконечность, счетное и несчетное множество, мощность множества.

Введение. В пользу неполной определенности термина «конечное множест[1]во» говорит известная теорема Трахтенброта о неразрешимости истинности фор[1]мул логики первого порядка для конечных моделей. Cледствием этой теоремы яв[1]ляется существование неограниченного числа формул, в т.ч. независимых, выра[1]жающих определение конечности множества [9, с. 569 – 572]. Другим следствием теоремы является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности (т. е. для лю[1]бой аксиомы бесконечности найдётся более слабая аксиома бесконечности). Исхо[1]дя из вышеизложенного, можно в самом общем виде заключить, что существует некоторая противоречивость термина «потенциально бесконечное множество», которое можно отнести как к конечному множеству, так и к бесконечному.

Из аксиомы бесконечности теории множеств следует существование по меньшей мере одного бесконечного множества. Однако еще Д. Гильберт отмечал: SOCIOTIME / Социальное время 10 «Понятия бесконечно большого и бесконечно малого теорией действительных чисел в собственном смысле слова из рассмотрения исключаются» [1, с.64–65]. Важно помнить, что Д. Гильберт доказал, что геометрия Евклида непротиворечива, если непротиворечивы логическая структура арифметики и система действительных чисел. Известно, что действительных или иначе вещественных чисел – несчётное множество, а действительное число может иметь бесконечное множество знаков после запятой, но само оно, как математическая величина, не является ни актуально бесконечно большим, ни актуально бесконечно малым. Идея актуально бесконечно малого (большого) до создания нестандартного математического анализа А. Робинсоном в 1960 году долго не признавалась ещё и потому, что просто не умели такое малое исчислять. Во второй половине XX века становится очевидным то, что в нестандартном анализе результаты вычислений получаются аналогичные классическому анализу, но аксиома Архимеда в нестандартном анализе не выполняется.

Теперь, разграничив понятия «величина» и «множество», у нас возникает необходимость рассмотреть логические основания, на которых математики вообще различают актуально бесконечное и потенциально бесконечное не только применительно к множествам, но и применительно к величинам. Известно, что в классическом анализе бесконечно большая величина – это последовательность, которая стремится к бесконечности. Обратная ей бесконечно малая – это последовательность, которая стремится к нулю. Известно, что Г. Кантор определял потенциально бесконечное, как выходящее за пределы всякого конечного, т. е. «не собственно бесконечное» [5, с. 262 – 268]. Мы полагаем, что главное отличие актуально бесконечного множества от потенциально бесконечного заключается в том, что второе из них имеет конечную мощность, которая эквивалентна неопределенно большому множеству его элементов.

В настоящее время потенциально бесконечное иногда трактуется как гипер[1]трофированно конечное. Известный философ и исследователь проблемы беско[1]нечности А.С. Кармин писал об истоках подобного понимания: «Если обратиться к категории бесконечности во времена Древней Греции, то обнаруживается сле[1]дующее. Бесконечное представлялось просто как гипертрофированное конечное, которое настолько огромно или, наоборот, мало, что граница находится неопреде[1]лённо далеко, за пределами доступного опыта» [6, с.17]. Что касается термина «гипертрофированно конечное» применительно к потенциально бесконечному множеству, то нам представляется, что он, возможно, уместен, ведь потенциально бесконечное находится за пределами определенно конечного, а не в его пределах. Гипертрофированно конечное множество допустимо условно отождествить также с практически бесконечным множеством. При этом специфической особенностью потенциально бесконечного, как переменной величины, является то, что оно, вы[1]ходя за пределы всякого конечного, не достигает истинно бесконечного, т. е. ак[1]туально бесконечного.

Методы. Очевидно, что основатели теории действительных чисел определённо не отрицали представление рациональных чисел конечными математическими структурами, а иррациональных – бесконечными [8, с. 221 – Философия 11 232]. При этом, также можно согласиться и с критиком Г. Кантора А. Зенкиным, что математика сегодня полностью игнорирует важнейший, с точки зрения философии (и классической теории множеств), вопрос о том, является ли бесконечный денотат действительного числа актуально-бесконечным. Однако фундаментальные проблемы, которые игнорирует наука и которые лежат в её основании, должна решать философия. Ответ на тяжелый для математиков вопрос: является ли бесконечный денотат действительного числа актуально-бесконечным? – по нашему убеждению, лежит, в частности, в плоскости другого вопроса: справедливо ли равенство 0, (9) = 1?

Существует следующая серьёзная проблема, которая часто замалчивается математиками, полагающими её «неудобной». Все действительные числа, кроме 1, записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 допустимо записать и как 1, (0) и как 0, (9), т. е. неоднозначным образом [7, с. 176 – 177]. Истоки этого заблуждения относятся к 1896 году, и его автором является, по нашему предположению, С. Шатуновский, которым написана статья, опубликованная в книге Р. Дедекинда. Приводя собственную версию доказательства второй теоремы Кантора, он пишет, в частности, следующее. «Пусть C будет исчислимый комплекс вещественных чисел. Расположим эти числа в один ряд N 1, N 2, N 3, N 4, N 5,.. так, чтобы каждое занимало в этом ряду вполне определенное место, и обратим каждое число N в бесконечную десятичную дробь. Если какое-либо из чисел N обращается в конечную десятичную дробь (например, 0⋅26), то эту десятичную дробь можно будет представить в виде бесконечной десятичной дроби двумя способами: как бесконечную десятичную дробь с периодом 0 и как бесконечную десятичную дробь с периодом 9, то есть 0⋅26 = 0⋅260 00… и 0⋅26 = 0⋅259 99…

Мы предположим, что если в ряду какое-либо из чисел N обращается в конечную десятичную дробь, то число N замещено двумя равными ему бесконечными десятичными дробями» [4, с. 42 – 44]. Но совершенно естественно возникает следующий вопрос: на каком логическом или математическом основании может быть справедливо полное тождество двух различных действительных чисел, т. е. 0⋅26000…= 0⋅259 99…? Или, может быть, эти дроби не являются разными действительными числами? Очевидно, что никаких внятных оснований для постулируемого С. Шатуновским подхода не существует.

Мы видим, что сначала математики иногда сами создают проблемы, а затем иногда сами их и решают. При этом именитые математики очень обижаются, когда за метаматематические проблемы, которые ими не решаются, берутся философы. Очень уважаемый мною академик РАН – математик Д.В. Трещёв в ответ на моё предложение обсудить проблему равенства 0, (9) = 1 написал мне, среди прочих действительно добрых слов, следующее эмоциональное высказывание: «Я злюсь, когда кто-то пытается обсуждать математические утверждения не с помощью формально-логических рассуждений, опираясь на уже известные факты из данной области (алгебра, геометрия, комбинаторика и пр.), а из общечеловеческих и гносеологических соображений». Однако, хочется возразить уважаемому SOCIOTIME / Социальное время 12 академику: разве гносеологические соображения могут противоречить известным фактам, логике и самой истине?

Мы полагаем, что необходимо допустить: число 1 записывается однозначным образом, т. е. как 1,000…, только в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0,999... Соответственно этому всякая периодическая дробь формально мо[1]жет быть записана аналогичным образом: 0,999… [9]. Необходимо также учиты[1]вать то, что истинной количественной бесконечности в реальности не существует в отдельности от бесконечности качественной. В наших более ранних работах мы обосновывали потенциальную бесконечность знаков периодической дроби качест[1]венной однородностью самих периодов, которая существует на фоне качественной неоднородности знаков дроби непериодической. Так же нами была обоснована аксиома Лозовского, названная в честь деда автора статьи – Лозовского Максима Семёновича, который, будучи инвалидом, ушел в ополчение на фронт и пропал без вести в 1942 году.

Аксиома гласит: потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально беско[1]нечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счётного множества [3, с. 213 – 218]. Действительно, ведь в случае актуальной бесконечно[1]сти множества знаков всякой периодической дроби между числами 0, (9) и 1, (0) на числовой прямой не существовало бы других действительных чисел. В случае потенциальной бесконечности множества знаков дроби 3,14… – это число не было бы представлено единственной точкой на числовой прямой, а также в этом случае было бы допустимым решить задачу квадратуры круга. Но самый полный и глубо[1]кий ответ на вопрос: почему периодическая дробь, в отличие от непериодической дроби, потенциально бесконечна? – лежит в сфере логики континуума и Дедекин[1]дова сечения. Важно прояснить: каков подход к понятию непрерывности сущест[1]вует в теории множеств? Аксиома непрерывности теории множеств утверждает, что если два множест[1]ва таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдётся число, разделяющее эти два множества. Утвержда[1]ется, что мощность множества действительных чисел – это мощность континуума. Но что есть собственно континуум? Г. Кантор был убежден в том, что «…не пра[1]вильно привлечение понятия времени… или наглядного созерцания времени при рассмотрении… понятия континуума». Аналогично этому он полагал, что «…так называемая форма созерцания пространства ничего не может дать для понимания континуума». Известно, что подобный подход Г. Кантора связан с тем, что он по[1]нимал континуум как математически наиболее общее и первичное понятие по от[1]ношению к времени и реальному пространству [5, c. 87 – 89]. Мы в нашей работе показали, что существует взаимно однозначное соответствие между несчётным множеством точек реального пространства и элементами «математически мнимого движения» и не существует взаимно однозначного соответствия между счётным множеством элементов времени и несчётным множеством точек реального про[1]странства [2, с. 9 – 17]. Как мы уже ранее отметили, определенно, что, в соответствии с теоремами Г. Кантора, числовая прямая имеет мощность континуума, а это означает, что ме- Философия 13 жду числами 0,999… и 1,000… на ней должно находиться бесконечное множество действительных чисел, среди которых должно быть среднее арифметическое са[1]мих этих двух чисел: (0,(9) + 1) / 2 = 0,9…5. Но в случае актуально бесконечного множества знаков этих дробей другим числам, образно выражаясь, не было бы места между 0,999… и 1,000… на числовой прямой. Как уже отмечалось, по[1]скольку числовая прямая непрерывна, то на ней между любыми двумя действи[1]тельными числами всегда заключаются другие числа. Таковы свойства континуу[1]ма. Необходимо также осознавать то, что термин «непрерывность» в теории мно[1]жеств и вне её трактуется различным образом, и мы не будем касаться определе[1]ния непрерывности в частных математических дисциплинах, таких как, например, топология. Но в чем же Р. Дедекинд усматривал сущность непрерывности? «Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса…» [4, c. 15 – 18]. Таким образом, сечением упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества, которые называются верхним и нижним классами сече[1]ния. Известно, что в теории множеств непрерывное множество – это упорядо[1]ченное множество, которое не имеет ни скачков, ни пробелов, а разделить его на два класса может только иррациональное число. Обобщим наш подход: необходи[1]мым и достаточным условием разделения числовой прямой на два класса является наличие иррационального числа, в десятичном представлении, выраженного бес[1]конечной непериодической дробью. Основные идеи исследования, полученные результаты и их обсуждение. В своей замечательной диссертации В.П. Шалаев показал единство и взаимную дополнительность системы элементов естественно-научной и гуманитарной тра[1]диций. «Элементы эти можно не только характеризовать как проявленную потреб[1]ность различных «епархий» научного знания в системных и синергетических по[1]нятиях и смыслах, но (именно поэтому) и как потребность в них социальной жиз[1]ни, с наибольшей силой проявившей себя в современной актуализации этих эле[1]ментов уже в форме единой системно-синергетической парадигмы, основанной на особой общенаучной структуре смыслов» [10]. В рамках парадигмально обозна[1]ченной этим учёным ещё в 1997 году «общенаучной структуры смыслов» мы предлагаем строгое логическое обоснование отсутствия взаимно однозначного соответствия (биекции) множества знаков периодической дроби и множества зна[1]ков дроби непериодической. Первый вопрос, который возникает: почему множество знаков непериодической дроби, которая представляет иррациональное число, именно актуально бесконечно? Известно, что сечение множества действительных чисел на два класса производится различным образом рациональным и иррациональным числом. Р. Дедекинд пишет: «…отныне каждому определенному сечению соответствует одно и только одно рациональное или иррациональное число, и мы будем смотреть на два числа, как на различные или неравные, тогда и только тогда, когда они соответствуют существенно различным сечениям» [4, с. 21]. Очень SOCIOTIME / Социальное время 14 важно то, что Р. Дедекинд прямо указывает на отсутствие единообразия у рационального и иррационального чисел, т. е. на их различие, на их не тождественность! В случае сечения иррациональным числом оно разбивает актуально беско[1]нечную числовую прямую на две части (без остатка в виде пробела или скачка) и, соответственно, само число, которое это сечение производит, не может не иметь в десятичном представлении актуально бесконечного множества знаков. Смысл сечения континуума, которое производит иррациональное число, не в том, чтобы отделить от континуума точку, что невозможно, а в том, чтобы рассечь континуум полностью на две части (класса), разделить его между точками без остатка, т.е. без пробела и без скачка. Важно осознать то, что Дедекиндово сечение континуума иррациональным числом не связано ни с временем, ни с периодическим процес[1]сом, включая процесс познания. Но может возникнуть дополнительный вопрос: если числовая прямая имеет мощность континуума, то почему мы имеем только счётное множество знаков непериодической дроби, представляющей иррацио[1]нальное число, которое производит сечение? Ответ, вероятно, заключается в воз[1]можной аналогии с пересечением геометрических прямых в пространстве. Ведь, множество из одного элемента точки пересечения двух прямых всегда меньше множества точек на каждой из этих прямых. Второй возникающий вопрос: почему, исходя и из логики Дедекиндова сече[1]ния, периодическая дробь только потенциально бесконечна? Необходимо осознать то, что потенциально бесконечный процесс сечения континуума рациональным числом связан с пробелом и никогда не может завершиться, и в силу этого логи[1]ческого обстоятельства само множество знаков периодической дроби именно по[1]тенциально бесконечно. Заключение. Мы заявили ранее, что задачей настоящей статьи, с учётом ло[1]гики классиков математики, является обоснование потенциальной бесконечности множества знаков периодической дроби и обоснование актуальной бесконечности множества знаков дроби непериодической. Способ наших рассуждений оказался аналогичен диагональному методу Г. Кантора, который показал, что, в соответст[1]вии с его теоремами, между двумя рациональными числами обязательно сущест[1]вуют не учитываемые при подсчёте иррациональные числа. Мы показали, что ме[1]жду двумя рациональными числами, обязательно также находится среднее арифметическое этих чисел, которое не учитывается при допущении актуальной бесконечности множества знаков периодической дроби. Таким образом, мы выявили, что периодическая дробь имеет потенциально бесконечное множество знаков. Мы объяснили это допущение тем, что только в подобном случае можно исходить из континуальных свойств числовой прямой. Затем мы объяснили потенциальную бесконечность знаков периодической дроби и актуальную бесконечность знаков дроби непериодической, исходя из логики рас[1]суждений Р. Дедекинда о непрерывности и сечениях как рациональным, так и ир[1]рациональным числом, т. е. исходя из логики собственно теории множеств. Мы установили: Философия 15 1) иррациональное число производит сечение всего континуума сразу и без пробелов потому, что и это число, и континуум – актуально бесконечны; 2) потенциально бесконечный процесс сечения континуума рациональным числом связан с пробелами и никогда не завершается. Среди конкретных, разрушающих науку, тенденций известный российский философ и организатор науки В.П. Шалаев называет дефундаментализацию, фор[1]мализацию и узкую специализированность [11, с. 50 – 59]. Мы полагаем, что на[1]стоящая работа имеет фундаментальный, междисциплинарный и метатеоретиче[1]ский характер и направлена она против негативных тенденций, увы, характерных для научного мейнстрима. Список литературы 1. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука. 1979. 558 с. 2. Годарев-Лозовский М.Г. Кинематическая интерпретация волновой функции и мета[1]теоретический принцип соответствия. / Социальное время 2020 № 1. С. 9–17. DOI: 10.25686/2410- 0773.2020.1.9. 3. Годарев-Лозовский М.Г. Метатеоретическая аксиома о различной мощности множества знаков периодической и непериодической дробей // IV Российская конференция Основания фундаментальной физики и математики. ОФФМ 2020. Материалы конференции 11-12 декабря 2020 года. РУДН. М. 2020. 245 с. 4. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. М.: URSS. 2015. 44 с. 5. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. Труды по теории множеств. М.: Наука. 1985. 430 с. 6. Кармин А.С. Познание бесконечного. М.: Мысль. 1981. 229 с. 7. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Советская эн[1]циклопедия. 1988. 845 с. 8. Синкевич Г.И. Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века. Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. М.: РАН. 2018. 412 с. 9. Трахтенброт Б.А. Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конечных классах // Доклады АН СССР. 1950. Т.70. № 4. С. 569 – 572. 10. Шалаев В.П. https://www.dissercat.com/content/genezis-i-sotsialnyi-smysl-sistemno[1]sinergeticheskoi-paradigmy. 11. Шалаев В.П. Синергетический образ университетской науки в условиях вызовов современ[1]ности: между хаосом и порядком (опыт критического анализа). / Социальное время 2015. № 2. С. 50 – 59. УДК 140.8 DOI: 10.25686/2410-0773.2020.2.66. Авторская справка ГОДАРЕВ-ЛОЗОВСКИЙ Максим Григорьевич, председатель Санкт-Петербургского Философского клуба Российского философского общества, руководитель научно-философского семинара РФО в Санкт-Петербургском Доме ученых в Лесном, Санкт-Петербург, Россия. E-mail: godarev-lozovsky@yandex.ru