УДК 125

(шифр специальности 09.00.01)

Метатеоретические основания науки

Годарев-Лозовский М. Г.

Российская Федерация, Санкт-Петербург

Российское философское общество

godarev-lozovsky@yandex.ru

Абстракт. Если обратиться к основаниям математики, то Г. Вейль полагал, что крушение программ обоснования математики вызвано в основном «смешением» представлений об актуальной и потенциальной бесконечности в мышлении математиков. В квантовой и релятивистской физике отсутствует единая концепция пространства и времени, а у математики и физики отсутствуют общие основания. Исходной предпосылкой предлагаемых постулатов является, то, что все действительные числа, кроме 1 записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 допустимо записать и как 1,(0) и как 0,(9), т.е. неоднозначным образом. Мы решаем эту проблему допущением потенциально бесконечного множества знаков всякой периодической дроби, в отличие от любой дроби непериодической, ведь великие математики допускали, что рациональные числа представлены конечными математическими структурами, а иррациональные – бесконечными. Все вышеизложенное приводит к гармоничной системе четырех постулатов в рамках метатеоретических оснований науки.

1) Всякое действительное число в т.ч. 0,(9) представлено единственной точкой непрерывной числовой прямой. 2) Всякое иррациональное число, в отличии от рационального числа, в десятичном представлении не имеет последнего знака. 3) Реальное пространство и время математически не равномощны и являются референтами счетных и несчетных, потенциально и актуально бесконечных множеств. 4) Движение квантового микрообъекта, как фундаментальной частицы, математически мнимо.

Ключевые слова: актуальная и потенциальная бесконечность; числовая прямая; счетное и несчетное множество.

Metatheoretical foundations of science

Godarev-Lozovsky M. G.

Saint Petersburg, Russian Federation

Russian philosophical society

godarev-lozovsky@yandex.ru

Abstract. If we turn to the foundations of mathematics, then G. Weil believed that the collapse of the programs for substantiating mathematics was caused mainly by a “mixture” of ideas about the actual and potential infinity in the thinking of mathematicians. In quantum and relativistic physics there is no single concept of space and time, while mathematics and physics lack common grounds. The initial premise of the proposed postulates is that all real numbers except 1 are written unambiguously in the form of an infinite decimal fraction, but only the number 1 can be written both as 1, (0) and as 0, (9), i.e. in an ambiguous way. We solve this problem by assuming a potentially infinite number of signs of any periodic fraction, in contrast to any non-periodic fraction, because great mathematicians assumed that rational numbers are represented by finite mathematical structures, and irrational ones are infinite. All of the above leads to a harmonious system of four postulates within the metatheoretical foundations of science.

1) Every real number, including 0, (9) is represented by a single point of a continuous numerical straight. 2) Every irrational number, unlike a rational number, does not have the last digit in the decimal representation. 3) Real space and time are not mathematically equal and are referents of countable and uncountable, potentially and actually infinite sets. 4) The Movement of a quantum micro-object, as a fundamental particle, is mathematically imaginary.

Keywords: actual and potential infinity; numerical straight; countable and uncountable set.

Принято полагать, что основания науки – это фундаментальные представления, понятия и принципы, определяющие стратегию исследования, организующие в целостную систему многообразие конкретных теоретических и эмпирических знаний. Известно, что математика – это «королева наук». И если теория множеств – это основания математики, то основанием физики является квантовая механика, как наиболее фундаментальная дисциплина.  При этом математике и физике в целом необходима единая метатеоретическая концепция, которой пока не существует и возможный вариант которой мы предлагаем научному сообществу.

Приступая к изложению нашей концепции, предлагается начать с рассмотрения одного из различий в представлении чисел и с развернутых определений понятий актуальная и потенциальная бесконечность.

1. Различие в представлении рационального и иррационального числа

Известно, что действительные числа могут быть представлены различным образом. Каково же характерное различие в представлении рационального и иррационального числа?

Г. Кантор построил действительные числа исходя из рациональных чисел. Он допустил, что всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел. Например, число π можно представить бесконечной последовательностью рациональных чисел 3; 3,1; 3,14; 3,141; ... .

Популяризатор науки А.В. Жуков сравнивает постижение счетного множества знаков числа π с процессом бесконечного приближения к пределу. С каждым новым шагом мы всё ближе и ближе к заветной цели, однако, вожделенный предел по-прежнему продолжает оставаться от нас на расстоянии бесконечного множества шагов. Как мы полагаем, в данном случае предел – это актуальная бесконечность знаков числа π, процесс постижения которых потенциально бесконечен.

Известно, что К. Вейерштрасса составил агрегаты с бесконечным числом элементов и ввёл для них отношения равенства. Согласно Вейерштрассу, действительное число — это класс эквивалентности агрегатов, удовлетворяющих следующему условию конечности: всякое рациональное число представляется «агрегатом» – конечным множеством единиц. Так, {1/4, 1/4, 1/4, 1/4} является представлением числа 1; {1/7, 1/7} = 2/7 и т.п. Подробнее об этом и об истории создания теории чисел можно узнать из обстоятельной работы Г.И. Синкевич [19, с.221-232].

Можно увидеть, что великие математики, по существу, не отрицали представление рациональных чисел конечными математическими структурами, а иррациональных – бесконечными. Мы полагаем, что всё же современное научное сообщество не вполне отчетливо осознает философскую природу двух фундаментальных понятий: число и бесконечность и в этом заключается психологическая проблема восприятия людьми столь абстрактных категорий.

2. История и настоящее актуальной и потенциальной бесконечности

Известно, что у древних греков и у Аристотеля, в частности, преобладала точка зрения, что бесконечное – это нечто безграничное и неопределенное, существующее только в потенции. Г. Лейбниц называл бесконечно малые «идеальными понятиями» и «удобными фикциями».

Б. Больцано не считал переменную величину, принимающую сколь угодно большие значения истинно бесконечной, каковым Больцано признаёт лишь актуально бесконечное. Его современник О. Коши, однако, изгоняет актуально бесконечно малые из анализа и переформулирует дифференциальное и интегральное исчисления в терминах предела. При этом идея актуально бесконечно малого (большого) долго не признавалась на том основании, что до создания нестандартного математического анализа А. Робинсоном в 1960 году не умели такое малое исчислить.

Как полагал Д. Гильберт, различие между бесконечностями заключается в том, что потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуально бесконечное – это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число объектов, например, чисел или точек. Но А. Пуанкаре, современник Гильберта, был непреклонен: «Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. … Можно ли рассуждать об объектах, которые не могут быть определены конечным числом слов? Можно ли даже говорить о них, зная, о чем говорят, и, произнося нечто иное, чем пустые слова?»[17, с. 517, 600].

М. Клайн отмечал, что большинство знаменитых математиков (Галилей, Лейбниц, Коши, Гаусс и другие) отчетливо понимали различие между потенциально бесконечными и актуально бесконечными множествами и сознательно исключали актуально бесконечные множества из рассмотрения. Декарт утверждал: «Бесконечность распознаваема, но не познаваема». Гаусс писал в 1831 г. Шумахеру: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность — не более чем façon de parle [манера выражаться], означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

В своей известной книге «Математика. Утрата определенности» М. Клайн писал: «Начиная с Аристотеля математики проводили различие между актуальной бесконечностью объектов и потенциальной бесконечностью. Чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим возраст Вселенной. Если предположить, что Вселенная возникла в какой-то момент времени в далеком прошлом и будет существовать вечно, то её возраст потенциально бесконечен: в любой момент времени возраст Вселенной конечен, но он продолжает возрастать и, в конце концов превзойдет любое число лет. Множество (положительных) целых чисел также потенциально бесконечно: оборвав счет, например, на миллионе, мы всегда можем затем прибавить к нему 1, 2 и т.д. Но если Вселенная существовала в прошлом всегда, то её возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аналогично множество целых чисел, рассматриваемое в «готовом виде» как существующая совокупность, актуально бесконечно (выделено мною – М.Г-Л)». [10, с. 231]. Предлагаемый нами подход вполне согласуется с подобным высказыванием М. Клайна. Но как же случилось, что понятия актуальная и потенциальная бесконечность в настоящее время часто не различаются учеными?

В современной науке в аксиоматике Цермело – Френкеля присутствует аксиома бесконечности, определённо предполагая состоявшуюся, актуальную бесконечность [3, с. 42-57]. При этом ключевым словом в аксиоме бесконечности является слово «существует». В. Босс ставит вопрос следующим образом. «В каком смысле существует натуральный ряд N? Как разворачивающийся процесс или как завершившийся? Числа из N потенциально можно построить или они уже есть в наличии?»[3, с.36].

Но ведь натуральный ряд может существовать в обоих этих смыслах, т.е. потенциально и актуально и не обязательно как процесс! Интересно, что А.С. Есенин-Вольпин показывает связь принципа единственности натурального ряда с гипотезой о его актуальной завершенности [7]. Действительно, натуральный ряд завершен актуально, не имея последнего элемента при том, что этот ряд потенциально бесконечно расширяем нами в процессе его познания.

Но каково принципиальное отличие потенциальной бесконечности от бесконечности актуальной? Это отличие заключается в свойстве актуально бесконечного множества быть равномощной своей правильной части. Часть потенциально бесконечного множества не равномощна целому.

Таким образом, если мы будем рассматривать бесконечность в потенции и как процесс, например, как процесс подсчета множества возрастающих натуральных чисел 1, 2, 3, …, то вместе с каждым числом n, мы можем взять большее (n+1). Если же мы рассматриваем множество всех натуральных чисел, взятых разом N={1, 2, 3, …}, то тогда мы имеем счетную актуальную бесконечность чисел. Но если мы рассмотрим множество точек на числовой прямой, то будем иметь несчетную актуальную бесконечность точек, т.к. эту бесконечность невозможно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Отметим также, что бесконечно удалённая точка, линия или плоскость – это необходимые математике геометрические объекты, в самых разных теориях представляющие именно  актуальную бесконечность.

Однако математики часто затрудняются на конкретных структурах различить потенциальную и актуальную бесконечность, что является серьезной проблемой.

Известно, что философски понятие «актуальная бесконечность» трактуется в настоящее время как завершенная бесконечная совокупность объектов независимо от процесса построения этих объектов. «Против понятия актуальной бесконечности выдвигается то возражение, что завершенная, осуществившаяся бесконечная величина тем самым превращается в конечную и уже не может считаться бесконечной» [12, с. 25-26]. Однако аналогичная критика актуальной бесконечности не способна абстрагироваться от процесса построения множества, т.е. фактически – от процесса индуктивного познания, как, якобы, единственно возможного.

К подобной критике актуальной бесконечности возникает резонный вопрос: противоречиво ли понятие потенциальной (неистинной) бесконечности в смысле нарушения им закона исключенного третьего применительно к понятиям «конечное – бесконечное»? Ответ очевиден: да, противоречиво именно в этом смысле. Ведь, потенциально бесконечное (гипертрофированно конечное по Г.Кантору), которое никогда не превращается в актуальность – называется бесконечным(?). Но тогда очевиден и ответ на вопрос: непротиворечиво ли в этом же смысле понятие актуальной (истинной) бесконечности? Конечно да, актуально бесконечное непротиворечиво с позиций двузначной логики именно в смысле однозначности самого понятия «бесконечное». Ведь, непротиворечиво даже несчетное актуально бесконечное множество чисел, заключенных на отрезке между 0 и 1, хотя оно, это множество имеет «начало» (наименьшее число – 0) и «конец» (наибольшее число – 1).

Как уже отмечалось, в противоположность актуальной бесконечности потенциальная бесконечность философски понимается как незавершенная бесконечность объектов исходя из процесса построения этих объектов, т.е. «как процесс, у которого нет последнего шага». При этом часто потенциальная бесконечность понимается как единственно существующая. Например, немецкий математик и логик Г. Генцен писал: «Бесконечную совокупность нельзя рассматривать, как нечто законченное, данное само по себе (актуальная бесконечность), а можно рассматривать как нечто становящееся, нечто такое, что можно все дальше и дальше надстраивать над конечным (потенциальная бесконечность) [12, с. 463-464].

А. Н. Колмогоров в своей авторской статье в словаре отмечал, что «реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых», т.е. собственно потенциальная бесконечность [14, с. 92-93].

Современный крупный философ математики В.В. Катасонов пишет, что если мы признаем существование потенциальной бесконечности, то ведь ей нужно где-то «разворачиваться», т.е. иметь некоторое определенное актуально бесконечное множество значений [9, c.36].

Очень тонкое замечание высказал А. В. Чагров: теоремы Гёделя о неполноте изначально имеют в своём основании неявную аксиому о существовании актуальной бесконечности [21, с. 206-209].

Мы со своей стороны также напомним, что Г. Кантор разделял потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет «такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида». Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ». Потенциально бесконечное Кантор справедливо называет «несобственно-бесконечным». Кантор подразделяет также математическую и нематематическую актуальную бесконечность, он пишет следующее. «Часто происходит смешение … двух форм актуально бесконечного, причем смешивается трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать недоступным увеличению, а потому математически неопределимым».  [8, с. 262-268]. Под «доступным увеличению трансфинитным», Г.Кантор определённо подразумевает здесь бесконечную шкалу мощностей (кардинальных чисел) несчетных множеств.

Продолжая начатый анализ понятия бесконечности по Г.Кантору, мы можем констатировать следующее. Актуально бесконечное: а) не может быть переменной величиной; б) замкнуто в себе, т.е. не определяется заданными условиями; в) трансфинитное актуально бесконечное может быть доступно увеличению; г) не принимает полностью определенного значения, но не противоречиво однозначностью «собственно бесконечного». Потенциально бесконечное по Г.Кантору: а) может быть переменной величиной; б) не замкнуто в себе, т.е. определяется заданными условиями; в) принимает полностью определенные значения; г) внутренне противоречиво противоречивостью «не собственно-бесконечного». Тем не менее, далеко не все ученые различают потенциальную и актуальную бесконечность, некоторые отрицают какую-либо из них или возможность их познания.

Крупный философ математики В.А. Светлов отмечает следующее очень существенное обстоятельство: «…потенциальная бесконечность противопоставляется актуальной в качестве истинной только потому, что она, как объяснял ещё Кантор, и не покидает пределы конечного, т.е., по сути, и не является бесконечностью. Таким образом, реальная проблема, лежащая в основе споров о законности актуальной бесконечности, заключается в том, что до сих пор отсутствует общепринятое и удовлетворительное объяснение связи конечного и бесконечного»[18, с. 35-36].

Объектом исследования в статье Л.Б. Султановой является математическое представление об актуальной бесконечности [20, с.88-94]. В двадцатом веке немецкий математик Г. Вейль высказал мысль о том, что крушение программ обоснования математики вызвано в основном «смешением» представлений об актуальной и потенциальной бесконечности в мышлении математиков. Бесконечность представляет собой подлинный «лабиринт мышления», когда субъект познания далеко не всегда способен осознавать, с какой же бесконечностью – актуальной или потенциальной – он реально в данный момент имеет дело.

Заметим по существу в отношении высказанного Л.Б. Султановой суждения следующее рассуждение. Человеческое познание конечно или потенциально бесконечно, а знание актуально бесконечно качественно и количественно. При этом мы не знаем (и никогда не узнаем) последнего знака непериодической дроби, которого не существует, но мы знаем последний знак периода дроби периодической. Периоды дроби качественно неразличимы между собой в отличие от различимости знаков дроби непериодической. Так как количественной бесконечности не существует без качественной, то истинная количественная бесконечность периодов дроби невозможна в силу качественной однородности самого периода. Это дает нам возможность различить актуальную и потенциальную бесконечность на примере периодических и непериодических дробей, что позволяет решить фундаментальную математическую проблему.

Настоящая работа развивает сформулированные нами ранее: 1) метатеоретический принцип соответствия: конкретному понятию соответствует определённое числовое множество; 2) гипотезу связи бесконечных величин и счетных множеств: разность между сколь угодно близкими рациональными числами на числовой прямой представляет собой потенциально бесконечно малую величину, а разность между действительным и бесконечно близким ему гипердействительным числом – величину актуально бесконечно малую [6, с. 46-52], [5, с.113-115].

3. Справедливо ли равенство 0,(9) = 1?

Отправной точкой наших дальнейших рассуждений будет являться вопрос о справедливости равенства 0,(9) = 1. Существует следующая проблема: «Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом» [14, с. 176-177]. То есть все действительные числа, кроме 1 записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 допустимо записать и как 1,(0) и как 0,(9), т.е. неоднозначным образом.

В качестве решения обозначенной проблемы, в настоящее время предлагают на основании конвенции принять равенство 0,(9) = 1 с учетом того обстоятельства, что на первый взгляд, в соответствии с формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, множество знаков числа 0,(9) равно её сумме, т.е. числу один: S = 0, (9) = 0, 9 + 0, 99 + 0, 999… = 1. При этом в настоящее время математики прекрасно осознают, что это равенство нельзя понимать буквально, ведь известно, что ещё Д. Аламбер в 1756 году был убеждён – величина никогда не становится равной своему пределу. Однако сторонники равенства 0,(9) = 1 сознательно или неосознанно упускают из вида решающее обстоятельство: сумму прогрессии (предел) и собственно прогрессию, которая стремится к пределу, разделяет потенциально бесконечно малая величина, называемая бесконечно малой последовательностью.

Собственно следующее строго математическое определение предела числовой последовательности включает эту бесконечно малую величину. «Число b называют пределом последовательности (xn) если (xn – b) – бесконечно малая последовательность…» [15, с. 49]. Получается, что некритическое допущение равенства 0,(9) = 1 при апелляции к формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии противоречит самим основам математического анализа. К тому же подобный подход игнорирует то, что между числами 0,(9) и 1на числовой прямой находится бесконечное множество действительных чисел и в частности число равное среднему арифметическому значению чисел 0,(9) и 1, т.е.: (0,(9) + 1) / 2.

Иногда предлагают вообще устранить число 0,(9) с числовой прямой на том логическом основании, что «…пробел между 0,(9) и 1, в реальности он просто не может быть больше 0» [22, с. 283-288]. Однако подобное нарушает фундаментальный принцип представительства каждого действительного числа единственной точкой непрерывной числовой прямой.

Существует еще подход – это игнорировать бесконечные десятичные дроби 0,(9) и 1,(0), переведя их в конечные дроби, тем самым закрыв «неудобный» вопрос. В некоторых математических пособиях мы можем прочитать следующее: «Бесконечные десятичные дроби с периодами 0 и 9 обычно не рассматривают, т.к. это обычные (конечные) десятичные дроби», т.е. предполагается: 0,999 . . . = 0,(9) = 9⁄9 = 1 (?). В итоге постулируется, что 0,(9) – это целое число 1, записанное в форме дроби, т.е. как 9/9 или 1,0.

Но в связи с подобным допущением, остаётся непонятно: на каком логическом основании некоторые бесконечные дроби избирательно и безвозвратно произвольно превращаются в конечные дроби? Часто из практических соображений у дроби 0,999… действительно произвольно «обрубают бесконечный хвост из девяток», что логически и психологически объяснимо, но с теоретической точки зрения это является совершенно недопустимым.

Когда предлагается принять то, что 0,(9) – это десятичная запись числа 1, как допускается, например, в книге Ю. Ченг то это, с нашей точки зрения, является попыткой произвольно удалить за пределы числовой прямой «неудобное» число как не имеющее никакого смысла и, якобы, не являющееся настоящим числом [22, с. 283-288].

Один из сторонников дискриминации числа 0,(9) и актуальной бесконечности его знаков И. Бирман пишет следующее. «Действительно, последовательность 0,9; 0,99; 0,999; и т. д., при стремлении количества девяток к бесконечности, будет стремиться к единице. Но когда девяток станет ровно бесконечное количество — а именно это выражает запись 0,(9), — тогда это число станет ровно единицей. Запись 0,(9) означает не то, что девяток в числе становится «всё больше и больше», а то, что их есть бесконечное количество прямо сейчас. Естественно, что это то же самое число, что и 1» [2]. С нашей точки зрения И. Бирман прав в одном: допущение актуальной бесконечности «девяток» в дроби 0,(9) делает её, эту дробь равной 1. Однако запись 0,(9) сама по себе отнюдь не означает то, что «девяток» в ней актуально бесконечное множество. Нам представляется, что единственно допустимо следующее концептуальное решение обозначенной проблемы неоднозначности представления числа 1 двумя десятичными бесконечными дробями.

Известно, что любое действительное число является пределом последовательностей своих десятичных приближений по недостатку и по избытку. Резонно допустить, что пределом последовательности приближения по недостатку числа 0,(9) является само это число, а пределом его последовательности приближений по избытку является число 1,(0). Пределом последовательности приближения по недостатку числа 1 является число 0,(9), а пределом его последовательности приближения по избытку является само это число 1,(0) .

Десятичное приближение иррационального числа с помощью периодической дроби может быть также с избытком и с недостатком. В этом случае неосознанно допускается, что периодическая дробь, в отличие от непериодической дроби, где-то «потенциально бесконечно далеко» имеет завершение: 0,999…9. Соответственно, разность между числами 0,(9) и 1 стремиться к 0 и является потенциально бесконечно малой: 1- 0,(9) = 0,(0)1 или, что тождественно: 1 – 0,(9) 0.

Важно осознавать, что число 1 записывается неоднозначным образом в виде бесконечных десятичных дробей 0,(9) и 1,(0) только в случае допущения актуальной бесконечности знаков дроби 0,(9) и оно записывается однозначным образом, т.е. как 1,(0) в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0,(9). Разность между числами 0,(9) и 1 имеет значение потенциально бесконечно малой величины в смысле классического математического анализа, но не величиной актуально бесконечно малой в смысле нестандартного анализа.

После решения ключевого вопроса относительно равенства 0,(9) = 1 , мы можем перейти к предлагаемым метатеоретическим постулатам в основании науки, которые естественно вытекают один из другого, гармонично укладываясь в логически единую и непротиворечивую систему.

4. Метатеоретические постулаты оснований науки

Первый постулат: всякое действительное число, включая 0,(9), представлено единственной точкой непрерывной числовой прямой.

Научные основания постулата. Аксиомы бесконечности и непрерывности теории множеств, т.е. взаимно однозначное соответствие между точками континуальной числовой прямой и несчетным множеством действительных чисел.

Следствия постулата. Несправедливость равенства 0,(9) = 1 и потенциальная бесконечность множества знаков периодической дроби 0,999… . Если, исходя от обратного, допустить справедливость равенства 0,(9) = 1, то в этом случае множество знаков дроби 0, 999… было бы исключительно актуально бесконечным по логическим соображениям. По этим же соображениям между числами 0,(9) и 1,(0) не существовало бы других действительных чисел. Однако, учитывая непрерывность числовой прямой, множество знаков дроби 0,999… , а также всякой другой периодической дроби потенциально, (но не актуально!) бесконечно.

Математик мирового уровня Э. Борель считает почти очевидной равную нулю вероятность того, чтобы неограниченная (т.е. подразумевается актуально бесконечная) десятичная дробь была периодической, т.к. эта вероятность меньше всякого значащего числа. Ведь, как он полагает, чтобы подсчитать вероятность выпадения числа 1/6, потребовалось бы подсчитать, с какой вероятностью за тремя цифрами в выражении 0,166…последует та или иная цифра из набора 1,2,3,4,5,6,7,8,9. При этом Борель убежден, что каждый период в представлении числа, меньшего единицы, может быть сколь угодно длинным [1, с.58-63].

Добавим к вышеизложенному, что в совместной публикации: "О судьбе математических конструктивистских школ А. А. Маркова и Э. А. Бишопа" Н. Г. Баранец и А. Б. Верёвкин отмечают, что А. А. Марков применял "принцип конструктивного подбора", который утверждает о завершаемости алгорифма, если нелепо предположение о его неограниченной продолжаемости. Интересно, что из принципа Маркова следуют почти Гёделевы результаты о неполноте: конструктивная реализуемость не влечёт выводимость [21, с. 215-218]. Для наших рассуждений важно, что бессмысленность актуально бесконечного повторения одинаковых периодов дроби, вполне следует, в том числе и из этого принципа.

Психологический контекст. Фактическое устранение числа 0,(9) с числовой прямой связано с неосознанной неудовлетворённостью ученых неоднозначностью представления числа 1 двумя десятичными бесконечными периодическими дробями.

Второй постулат: всякое иррациональное число, в отличие от рационального числа, в десятичном представлении не имеет последнего знака.

Научные основания постулата. В 1882 году фон Линдеман окончательно доказал – последняя цифра числа π не может быть найдена. В этом числе  не может быть последней цифры, так как оно есть трансцендентная постоянная величина равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Подобное означало, что задача квадратуры круга неразрешима и никогда не будет найдено способа, чтобы получить точное значение числа π, а, соответственно, получить точное значение любого другого иррационального числа [11, с. 343-352]. Всё это связано с тем, что из теоремы Линдемана – Вейерштрасса легко следует трансцендентность числа π, что указывает на актуальное отсутствие последнего знака в соответствующей этому числу непериодической дроби.

Следствия постулата. Важно обобщить, что, исходя из вышеизложенного, на фоне определённости последнего знака периода дроби, множество знаков любой непериодической дроби актуально, (но не потенциально!) бесконечно.

Психологический контекст. Факт неразличимости счетных множеств знаков периодической и непериодической дробей связан с неосознанным отождествлением актуальной и потенциальной бесконечности в определении понятия «десятичная бесконечная дробь».

Третий постулат: реальное пространство и время математически не равномощны и являются референтами счетных и несчетных, потенциально и актуально бесконечных множеств.

Научные основания постулата. Известно, что в классической механике время независимо от пространства; в квантовой механике время носит выделенный характер [23, с.265]; в теории относительности время, по существу, является четвертым пространственным измерением. Очевидно, что физика, как наука не имеет единой и универсальной концепции пространства и времени.

Следствия постулата. Характерно, что наукой упущено следующее логически очень важное обстоятельство. Если бы время было континуально и состояло из несчетного множества мгновений, то его течение было бы невозможным [13, с. 150]. При этом представление об абсолютном начале времени в науке носит явно спекулятивный характер, в связи с чем, современная релятивистская космология обратилась к понятию «Мультивселенной», как безначальной и бесконечной совокупности вселенных.

Очень важным аспектом проблемы природы реального пространства является то обстоятельство, что если бы пространство было дискретным, то мы могли бы наблюдать траекторное движение в микромире. Однако движение микрообъектов, как частиц фудаментальных – исключительно бестраекторно.

Психологический контекст. Отождествление непрерывного пространства и времени связано с неосознанным восприятием людьми времени как течения реки, непрерывного потока. Вода состоит из отдельных молекул и в этом время действительно подобно воде, но дальнейшие аналогии здесь не уместны. Важно то, что сама сущность непрерывного пространства и дискретного времени различна, а ведь ещё А.С. Пушкин писал: «В одну телегу впрячь не можно коня и трепетную лань…».

При этом метафизическое представление о начале мира, как о творении его Творцом глубоко заложено в христианской культуре. Однако это представление мифологически и ошибочно отождествляется в обыденном сознании с абсолютным началом времени. Мифологизировано также, в частности С. Хоккингом, представление о мнимом времени. Однако время, как счетное множество не может быть мнимым.

Четвертый постулат: движение квантового микрообъекта, как фундаментальной частицы, математически мнимо.

Научные основания постулата. Уравнение Шредингера как уравнение движения квантовой частицы имеет мнимый коэффициент при производной пути по времени. Это объясняет то, что квантовая частица не имеет скорости в классическом смысле, а её «элементарное перемещение» – атемпоральное и бестраекторное туннелирование в пространстве [4,с.62-69].

Следствие постулата. У квантовой частицы избыток точек реального пространства, чтобы двигаться траекторно и недостаток точек времени, чтобы двигаться темпорально, поэтому её движение допустимо описать «по Л.С. Понтрягину», т.е. как путь точки в плоскости комплексного переменного [16,с.15-19].

Психологический контекст. Игнорирование математической мнимости движения квантовой частицы связано с иллюзией фундаментальности характера механического движения. Это обстоятельство образно описал А.С. Пушкин: «Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить…».

3. Какой практический смысл для фундаментальной науки имеют следствия обозначенных постулатов?

1) Конкретная иллюстрация известного тезиса Ч. Пирса о непостижимой эффективности математики в естественных науках.

2) Развитие системного подхода к логическому согласованию основ теории множеств, теории чисел, классического анализа, квантовой и классической механики.

3) Возможно следующее концептуальное решение проблемы существования эфира. Если пространство соответствует действительным числам, то материальная мировая среда (эфир) соответствует иррациональным числам при том, что время и физические взаимодействия соответствуют рациональным числам.

4) Возможно концептуальное решение проблемы бесконечностей (расходимостей) в теоретической физике на основе допущения потенциально бесконечной энергии эфира.

5) Возможно следующее концептуальное решение проблемы скрытого вещества, которое не участвует в электромагнитных взаимодействиях. Если эфир, заполняющий пространство, соответствует иррациональным числам, то: а) алгебраические иррациональные числа соответствуют скрытому веществу, не участвующему в электромагнитных взаимодействиях; б) трансцендентные иррациональные числа соответствуют в принципе невзаимодействующему с веществом и излучениям эфиру.

Одна из задач обозначенных постулатов связана с устранением психологической усталости мыслящих широко ученых от застоя в фундаментальных построениях. Необходимо устранить как наивную уверенность в прочности основ науки, так и революционный настрой крушить всё старое. Менять основания науки необходимо взвешенно и смело, конструктивно и с прицелом на будущее.

Литература:

1. Антипенко Л. Г. Проблема континуума в свете комплементарной логики // Приложение Международного научного журнала "Вестник психофизиологии". 2019. № 4. С. 58-63. ISSN 2587-5558.

2. Бирман И. Интернет ресурс. https://ilyabirman.ru/meanwhile/2006/07/10/1/ .

3. Босс В. Теория множеств: от Кантора до Коэна. М.: URSS. 2016. 204с.

4. Годарев-Лозовский М.Г. Квантовая механика в терминах теории множеств // Труды Конгресса - 2018 "Фундаментальные проблемы естествознания и техники, сер. "Проблемы исследования Вселенной". Т. 38, №1. 2018. 325с.

5. Годарев-Лозовский М.Г. Тезисы гипотезы связи бесконечных величин и счетных множеств // Проблемы исследования вселенной. 2020. 39(2). С. 113-115.

6. Годарев-Лозовский М. Г. Четыре метатеоретических принципа в основании научного знания // Приложение Международного научного журнала "Вестник психофизиологии". 2019. № 4. С. 46-52. ISSN 2587-5558.

7. Есенин-Вольпин А. С. Анализ потенциальной осуществимости. Философия. Логика. Поэзия. Защита прав человека. М.: РГГУ, 1999. 452 с.

8. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. Труды по теории множеств. Т. 2. М.: Наука. 1985. 430 с.

9. Катасонов В. Н. Диссертация на соискание степени доктора богословия. Тема диссертации: "Концепция актуальной бесконечности как место встречи богословия, философии и науки". М. 2012. 54 с.

10. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир.1984. 445с.

11. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ. М., Наука.1987. 432 с.

12. Кондаков Н.И. Логический словарь – справочник. М.: Наука. 1975. 717с.

13. Лосев А. Ф. Античная философия истории // М. Наука. 1977. 205с.

14. Математический энциклопедический словарь/ гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. 845 с.

15. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. М.: Высшая школа,1990. 416с.

16. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. М.: Наука. 1986. 117 с.

17. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука,1983. 735 с.

18. Светлов В. А. Философия математики. М.: URSS, 2016. 208 с.

19. Синкевич Г.И. Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века. Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. М. РАН. 2018. 412с.

20. Султанова Л. Б. Актуально бесконечное в математике как лабиринт мышления// Вопросы философии. 2017. № 3. С. 88-94.

21. Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / под ред. В. А. Бажанова  и др. М.: Центр стратегической конъюнктуры, 2013. 270 с.

22. Ченг Ю. Математический беспредел. СПб.: Питер. 2019. 332с.

23. Шредингер Э. Специальная теория относительности и квантовая механика // Эйнштейновский сборник. М.: Наука. 1982-1983. 363 с.

References:

1.Antipenko L. G. The problem of the continuum in the light of complementary logic // Appendix of the International Scientific Journal "Bulletin of Psychophysiology". 2019. No 4.P. 58-63. ISSN 2587-5558.

2. Birman I. Internet resource. https://ilyabirman.ru/meanwhile/2006/07/10/1/.

3. Boss V. Set Theory: From Cantor to Cohen. M .: URSS. 2016.204s.

4. Godarev-Lozovsky M.G. Quantum mechanics in terms of set theory // Transactions of Congress - 2018 "Fundamental Problems of Natural Science and Technology, ser." Problems of the Study of the Universe ". V. 38, No. 1. 2018. 325s.

5. Godarev-Lozovsky M.G. Theses hypotheses of the connection of infinite quantities and countable sets // Problems of the study of the universe. 2020.39 (2). S. 113-115.

6. Godarev-Lozovsky M. G. Four metatheoretical principles in the basis of scientific knowledge // Appendix of the International Scientific Journal "Bulletin of Psychophysiology". 2019.No 4.P. 46-52. ISSN 2587-5558.

7. Yesenin-Volpin A. S. Analysis of potential feasibility. Philosophy. Logics. Poetry. Protection of human rights. M .: RGGU, 1999.452 s.

8. Kantor G. On various points of view on the actually infinite. Works on set theory. T. 2. M.: Science. 1985.430 s.

9. Katasonov V. N. The dissertation for the degree of Doctor of Theology. Thesis: "The concept of actual infinity as a meeting place for theology, philosophy and science." M. 2012. 54 p.

10. Kline M. Mathematics. Loss of certainty. M .: Mir. 1984. 445 sec

11. Klein F. Elementary mathematics from the point of view of higher: In 2 volumes. T. 1. Arithmetic. Algebra. Analysis. M., Science. 1987. 432 s

12. Kondakov N.I. Logical dictionary - reference book. M .: Science. 1975.717s.

13. Losev A.F. Ancient philosophy of history // M. Nauka. 1977.205p.

14. Mathematical Encyclopedic Dictionary / Ch. ed. Yu. V. Prokhorov. M .: Soviet Encyclopedia, 1988.845 s.

15. Mordkovich A.G., Solodovnikov A.S. Mathematical analysis. M .: Higher school, 1990. 416 sec

16. Pontryagin L.S. Generalization of numbers. M .: Science. 1986. 117 p.

17. Poincare A. On science. M .: Nauka, 1983. 735 s.

18. Svetlov V. A. Philosophy of Mathematics. M .: URSS, 2016.208 s.

19.Sinkevich G.I. Development of the concept of number and continuity in mathematical analysis until the end of the 19th century. Institute of the History of Natural Science and Technology. S.I. Vavilova. M. RAS. 2018.412s.

20. Sultanova LB Actually infinite in mathematics as a labyrinth of thinking // Problems of Philosophy. 2017. No. 3. P. 88-94.

21. Philosophy of mathematics: actual problems. Mathematics and reality. Abstracts of the Third All-Russian Scientific Conference; September 27-28, 2013 / under the editorship of V. A. Bazhanova et al. M.: Center for Strategic Market Studies, 2013.270 p.

22. Cheng Yu. Mathematical chaos. SPb.: Peter. 2019.332s.

23. Schrodinger E. Special theory of relativity and quantum mechanics // Einstein's collection. M .: Science. 1982-1983. 363 p.