УДК 125

Тезисы гипотезы связи бесконечных величин и счетных множеств

Годарев - Лозовский М.Г. (Российское философское общество) godarev-lozovsky@yandex.ru

Аннотация. Мы можем подтвердить и уточнить сформулированный нами ранее следующий принцип, который лежит в основании математики. Cчетное множество знаков десятичной потенциально бесконечной периодической дроби полно, но противоречиво, а счетное множество знаков десятичной актуально бесконечной непериодической дроби неполно, но непротиворечиво. В итоге исследования предложена гипотеза связи бесконечных величин и счетных множеств, в основе которой лежит утверждение, что разность между сколь угодно близкими рациональными числами на числовой оси представляет собой потенциально бесконечно малую величину, а разность между действительным и бесконечно близким ему гипердействительным числом – величину актуально бесконечно малую.

Ключевые слова: число и величина; потенциальная и актуальная бесконечность; бесконечная дробь; классический и нестандартный анализ; бесконечно малая; счетное и несчетное множества; взаимно однозначное соответствие.

UDC 125

Theses hypotheses of the connection of infinite quantities and countable sets

Godarev - Lozovsky M. G. (Russian philosophical society)

Annotation. We can confirm and clarify the following principle that we formulated earlier, which is the basis of mathematics. The countable set of signs of a decimal potentially infinite periodic fraction is complete, but contradictory, and the countable set of signs of a decimal actually infinite non-periodic fraction is incomplete, but consistent. As a result of the research, the hypothesis of the connection of infinite quantities and countable sets is proposed. The hypothesis is based on the statement that the difference between arbitrarily close rational numbers on the numerical axis is a potentially infinitesimal value, and the difference between a real and an infinitely close hyper – real number is an actual infinitesimal value.

Keyword: number and quantity; potential and actual infinity; infinite fraction; classical and non-standard analysis; infinitesimal; countable and uncountable sets; one-to-one correspondence.

Ранее нами сформулированы четыре метатеоретических принципа соответствия, которые уточнив, мы можем предложить в основание гносеологии, онтологии, математики и физики [1, с.46-52].

Выявлено, что в основании гносеологии лежит принцип: знанию соответствует актуальная бесконечность, а познанию – потенциальная.

В основании математики лежит принцип: счетное множество знаков десятичной потенциально бесконечной периодической дроби полно, но противоречиво, а счетное множество знаков десятичной актуально бесконечной непериодической дроби неполно, но непротиворечиво.

В основании онтологии и методологии науки находится следующий принцип: счетное множество знаков десятичной периодической дроби соответствует счетному потенциально бесконечному множеству моментов будущего времени; счетное множество знаков десятичной непериодической дроби, соответствует счетному актуально бесконечному множеству моментов прошлого времени; а несчетное множество действительных чисел соответствует реальному, заполненному средой пространству.

Принцип, который лежит в основании физики утверждает следующее. Конкретному понятию соответствует определённое числовое множество, как то: физическим взаимодействиям соответствует множество целых чисел, а времени соответствует множество рациональных чисел. При этом отрицательные числа соответствуют актуально бесконечному прошлому, а положительные – потенциально бесконечному будущему. При этом 0 соответствует отсутствию взаимодействий при отсутствии течения времени. Материальной мировой среде соответствует континуальное множество иррациональных чисел. Заполненному пространству соответствует множество действительных чисел, а мысленно освобождённому – актуально бесконечно малая (большая) в нестандартном анализе; и, наконец, движению соответствует множество чисто мнимых чисел и кватернионов. Обратимся к рассматриваемому в настоящей статье принципу, который, по нашему мнению, лежит в основании математики.

Известно, что Карл Вейерштрасса составил агрегаты с бесконечным числом элементов и ввёл для них отношения равенства. Согласно Вейерштрассу, вещественное число — это класс эквивалентности агрегатов, удовлетворяющих следующему условию конечности: всякое рациональное число представляется «агрегатом» — конечным множеством единиц. При этом также известно, что Георг Кантор построил вещественные числа исходя из рациональных чисел. Он допустил, что всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел [2, с.221-232]. Эти концептуальные допущения классиков науки могут служить отправным пунктом наших дальнейших рассуждений и выводов.

Г. Кантор разделял потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет «такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида». Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ». Математическое потенциально бесконечное Кантор называет «несобственно-бесконечным» [3, с. 262-268].

После создания теории множеств математики, заключив молчаливую конвенцию, решили полагать число 0,(9) записью числа 1 на том, вероятно, основании, что невозможно было между этими двумя числами представить другие действительные числа на континуальной числовой оси. Однако при этом неосознанно смешали два понятия: актуально бесконечное счетное множество и потенциально бесконечное счетное множество. Ведь, если допустить актуальную бесконечность периодов дроби 0,(9), то в этом случае реально невозможно представить существование действительных чисел между 0,(9) и 1. Но при этом математики упустили, что если допустить потенциальную, но не актуальную бесконечность периодов дроби 0,(9), то положение кардинально меняется. Например, между числами 0,(9) и 1 в этом последнем случае, находится бесконечное множество действительных чисел и в частности, находится число равное среднему арифметическому значению чисел 0,(9) и 1, т.е. число: (0,(9) + 1) / 2.

Проблема, которую мы решаем, очень точно сформулирована в математическом энциклопедическом словаре. «Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом» [4, с. 176-177]. То есть все действительные числа, кроме 1 записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 допустимо записать и как 1,(0) и как 0,(9), т.е. неоднозначным образом.

В связи с вышеизложенным возникает следующий концептуальный вопрос. Справедливо ли мнение, что числа 0,(9) и 1 – это одно и то же число на числовой оси? Но, ведь, если бы это утверждение соответствовало действительности, то не справедливо было бы следующее равенство: 1 - 0,(9) = 10 ^ (-∞), которое означает, что разность этих чисел строго математически не равна 0.

Противоречие заключается в следующем. Если между числами 0,(9) и 1 на числовой оси не существует других действительных чисел, то в этом случае, множество знаков в десятичной периодической дроби 0,(9) и в других периодических дробях – актуально бесконечно. Однако числовая ось континуальна, что означает следующее единственное логически безупречное решение проблемы.

Число 1 записывается неоднозначным образом в виде бесконечных десятичных дробей 0,(9) и 1,(0) только в случае допущения актуальной бесконечности знаков дроби 0,(9) и оно записывается однозначным образом, т.е. как 1,(0) в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0,(9). Разность между числами 0,(9) и 1 имеет значение потенциально бесконечно малой величины в смысле классического математического анализа.

Обобщая можно заключить, что множество знаков после запятой в непериодической дроби, в отличие от дроби периодической, актуально бесконечно потому, что в иррациональном числе актуально не существует последнего знака.

Положения гипотезы связи бесконечных величин и счетных множеств:

1.Множество знаков после запятой в десятичной непериодической дроби актуально (собственно) бесконечно потому, что в иррациональном числе актуально не существует последнего знака, а само иррациональное число невозможно представить в виде конечной цепной дроби.

2.Исключительно разность между действительным числом x и гипердействительным числом x+α , а также между отдельными бесконечно близкими гипердействительными числами является актуально бесконечно малой постоянной величиной α в смысле нестандартного анализа потому, что разность между действительными числами не может быть актуально бесконечно малой [5].

3.Разность между числами 0,(9) и 1, а также между другими сколь угодно близкими рациональными числами имеет значение потенциально бесконечно малой переменной величины в смысле классического анализа потому, что между двумя действительными числами всегда существуют другие действительные числа, а не исключительно актуально бесконечно малые величины.

4.Множество знаков после запятой в десятичной бесконечной периодической дроби потенциально (не собственно) бесконечно потому, что в случае актуальной бесконечности этого множества: а) между двумя сколь угодно близкими рациональными числами не существовало бы других действительных чисел, которые, в свою очередь, не могут быть актуально бесконечно малыми; б)периодическую дробь было бы недопустимо представить в виде конечной цепной дроби.

Литература

1. Годарев-Лозовский М.Г.Четыре метатеоретических принципа в основании научного знания. // Приложение Международного научного журнала «Вестник психофизиологии». 2019 (4), ISSN 2587-5558.

2. Синкевич Г.И. Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века. Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. М. РАН. 2018, 412с.

3. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. Труды по теории множеств. Т. 2. М.: Наука. 1985,430с.

4. Математический энциклопедический словарь. Гл. редактор Ю.В. Прохоров. М. «Советская энциклопедия». 1988, 845с.

5. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М: Наука. 1987, 128с.

Literature

1. Godarev-Lozovsky M. G. Four metatheoretic principles in the basis of scientific knowledge. // Appendix Of the international scientific journal "Bulletin of psychophysiology". 2019 (4), ISSN 2587-5558.

2. Sinkevich G. I. Development of the concept of number and continuity in mathematical analysis until the end of the XIX century. Institute of history of natural science and technology named after S. I. Vavilov, Moscow, Russian Academy of Sciences, 2018, 412s.

3. Kantor G. on various points of view on the actual infinite. Proceedings on set theory, Vol. 2. Moscow: Nauka. 1985.430 p.

4. Mathematical encyclopedia. Chief editor Yu. V. Prokhorov. M. "Soviet encyclopedia". 1988, 845c.

5. Uspenskiy V. A. What is non-standard analysis? Moscow: Nauka, 1987, 128s.

Reference

1. Godarev-Lozovskij M.G.Chety`re metateoreticheskix principa v osnovanii nauchnogo znaniya. // Prilozhenie Mezhdunarodnogo nauchnogo zhurnala «Vestnik psixofiziologii». 2019 (4), ISSN 2587-5558.

2. Sinkevich G.I. Razvitie ponyatiya chisla i neprery`vnosti v matematicheskom analize do koncza XIX veka. Institut istorii estestvoznaniya i texniki im. S.I. Vavilova. M. RAN. 2018, 412s.

3. Kantor G. O razlichny`x tochkax zreniya na aktual`no beskonechnoe. Trudy` po teorii mnozhestv. T. 2. M.: Nauka. 1985,430s.

4. Matematicheskij e`nciklopedicheskij slovar`. Gl. redaktor Yu.V. Proxorov. M. «Sovetskaya e`nciklopediya». 1988, 845s.

5. Uspenskij V.A. Chto takoe nestandartny`j analiz? M: Nauka. 1987, 128s.

УДК 125

Почему дробь 0,(9) имеет потенциально бесконечное множество знаков?

Годарев - Лозовский М.Г. (Российское философское общество) godarev-lozovsky@yandex.ru

Аннотация. В сообщении логически обосновывается предложенный нами ранее в основание математики метатеоретический принцип: счетное множество знаков десятичной потенциально бесконечной периодической дроби полно, но противоречиво, а счетное множество знаков десятичной актуально бесконечной непериодической дроби неполно, но непротиворечиво [1, с.46-52].

Мы будем исходить из того, что всякая фундаментальная проблема имеет логически однозначное и понятное решение, которое излагается кратчайшим образом.

Проблема: «Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом» [2, с. 176-177]. То есть все действительные числа, кроме 1 записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 допустимо записать и как 1,(0) и как 0,(9), т.е. неоднозначным образом.

Дилемма №1. Справедливо ли мнение, что числа 0,(9) и 1 – это одно и то же число на числовой оси? Но, ведь, если бы это утверждение соответствовало действительности, то не справедливо было бы следующее равенство: 1 - 0,(9) = 10 ^ (-∞), которое означает, что разность этих чисел не равна 0.

Дилемма №2. Если между числами 0,(9) и 1 на числовой оси не существует других действительных чисел, то в этом случае, множество знаков в десятичной периодической дроби 0(9) и в других периодических дробях – актуально бесконечно. Однако числовая ось континуальна, что означает следующее решение проблемы.

Решение проблемы: число 1 записывается неоднозначным образом в виде бесконечных десятичных дробей 0,(9) и 1,(0) только в случае допущения актуальной бесконечности знаков дроби 0,(9) и оно записывается однозначным образом, т.е. как 1,(0) в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0,(9). Разность между числами 0,(9) и 1 имеет значение потенциально бесконечно малой величины в смысле классического математического анализа.

При этом множество знаков после запятой в непериодической дроби, в отличие от дроби периодической, актуально (собственно) бесконечно потому, что в иррациональном числе актуально не существует последнего знака.

Литература

2. Математический энциклопедический словарь. Гл. редактор Ю.В. Прохоров. М. «Советская энциклопедия». 1988, 845с.

UDC 125

Why does the fraction 0, (9) have a potentially infinite set of signs?

Godarev - Lozovsky M. G. (Russian philosophical society) godarev-lozovsky@yandex.ru

Annotation. The report logically substantiates the metatheoretic principle that we proposed earlier in the Foundation of mathematics: the countable set of signs of a decimal potentially infinite periodic fraction is complete, but contradictory, and the countable set of signs of a decimal actually infinite non-periodic fraction is incomplete, but consistent [1, p. 46-52].

Keyword: number and quantity; potential and actual infinity; infinite fraction; classical and non-standard analysis; infinitesimal; countable and uncountable sets.

We will assume that every fundamental problem has a logically unambiguous and understandable solution that is outlined in the shortest possible way.

Problem: "If we exclude from consideration infinite periodic decimals with periods consisting only of nines, then every real number will be written as an infinite decimal fraction in an unambiguous way" [2, p. 176-177]. In other words, all real numbers except 1 are written in an unambiguous way in the form of an infinite decimal fraction, but only exclusively the number 1 can be written as both 1,(0) and 0,(9), i.e. in an ambiguous way.

Dilemma №1. Is it true that the numbers 0, (9) and 1 are the same number on the numeric axis? But, after all, if this statement were true, the following equality would not be true: 1 - 0,(9) = 10 ^ (-∞), which means that the difference between these numbers is not equal to 0.

Dilemma №2. If there are no other real numbers between the numbers 0,(9) and 1 on the numeric axis, then the set of signs in the decimal periodic fraction 0,(9) and in other periodic fractions is actually infinite. However, the numerical axis is continuous, which means the following solution to the problem.

Solution to the problem: the number 1 is written ambiguously as infinite decimals 0,(9) and 1,(0) only if the actual infinity of signs of the fraction 0,(9) is assumed, and it is written unambiguously, i.e. as 1,(0) in the case of potential infinity of signs of the fraction 0,(9). The difference between the numbers 0,(9) and 1 has the value of a potentially infinitesimal value in the sense of classical mathematical analysis.

At the same time, the set of decimal places in a non-periodic fraction, as opposed to a periodic fraction, is actually infinite because the last sign does not actually exist in an irrational number.

Literature

2. Mathematical encyclopedia. Chief editor Yu. V. Prokhorov. M. "Soviet encyclopedia". 1988, 845c.

Reference

1.Godarev-Lozovskij M.G.Chety`re metateoreticheskix principa v osnovanii nauchnogo znaniya. // Prilozhenie Mezhdunarodnogo nauchnogo zhurnala «Vestnik psixofiziologii». 2019 (4), ISSN 2587-5558.

2.Matematicheskij e`nciklopedicheskij slovar`. Gl. redaktor Yu.V. Proxorov. M. «Sovetskaya e`nciklopediya». 1988, 845s.

Тема доклада: "Метатеоретические принципы соответствия в основании науки"

Годарев - Лозовский М.Г. (Российское философское общество) godarev-lozovsky@yandex.ru

Тезисы доклада:

Выявлено, что в основании гносеологии лежит принцип: знанию соответствует актуальная бесконечность, а познанию – потенциальная.

Topic of the report: "Metatheoretic principles of conformity in the basis of science". Godarev - Lozovsky M. G. (Russian philosophical society)

Thesis of reports:

It is revealed that the basis of epistemology is the principle: the actual infinity corresponds to knowledge, and the potential infinity corresponds to cognition.

The basis of mathematics is the principle: the countable set of signs of a decimal potentially infinite periodic fraction is complete, but contradictory, and the countable set of signs of a decimal actually infinite non-periodic fraction is incomplete, but consistent.

The ontology and methodology of science is based on the following principle: a countable set of decimal periodic fractions corresponds to a countable potentially infinite set of moments of future time; a countable set of decimal non-periodic fractions corresponds to a countable actually infinite set of moments of past time; and an uncountable set of real numbers corresponds to a real, filled space.

The principle which lies at the foundation of physics states the following. A specific concept corresponds to a certain number set, such as: physical interactions correspond to a set of integers, and time corresponds to a set of rational numbers. In this case, negative numbers correspond to an actual infinite past, and positive numbers correspond to a potentially infinite future. In this case, 0 corresponds to the absence of interactions in the absence of time flow. The material world environment corresponds to a continuum of irrational numbers. The filled space corresponds to a set of real numbers, and the mentally released space corresponds to actually infinitely small (large) in non-standard analysis; the movement corresponds to a set of purely imaginary numbers and quaternions.