Гносеология – основа точности пространственной

геометрии

С.Н. Гузевич

Государственный научно-исследовательский

навигационно-гидрографический институт МО РФ,

г. Санкт-Петербург

Отношения между основными понятиями в пространственной геометрии Евклида (точка, прямая, плоскость) выражены словами «принадлежит», «между», «конгруэнтны» и должны удовлетворять системе из 20 аксиом, установленных Д. Гильбертом [1,2]. Однако эти отношения устанавливались между независимыми понятиями, которые как показано в [5], связаны отношением общего и частного. Поэтому используем понятия гносеологии для определения отношений между основными понятиями геометрии.

Под «отношением» в философии понимается сопоставление различных объектов или сторон одного объекта или упорядочение членов множества [3,4]. Различают два типа отношений: внутренние (в группе) и внешние (между группами). Внутренние отношения определяются условием «принадлежит». Тип отношений «между» и «конгруэнтны» отражает особенности взаимного положения понятий между группами.

Первый по значимости тип отношений в группе – это отношения равенства (тождества, эквивалентности). Эти «отношения» выражают факт наличия одних и тех же признаков у различных объектов. Второй по значимости тип отношений в группе - соотношения. Этот тип отношений устанавливает сравнение одних и тех же признаков у различных объектов в группе и является практически основным типом «отношений» в природе.

Именно установление отношений в группе является основным этапом количественного сравнения понятий и основной задачей математики-геометрии и теории познания. Поэтому в дальнейшем изложении под отношениями между основными понятиями будем понимать только установление количественных соотношений в группе, отражаемых условием «принадлежит».

Тип отношений «между» и «конгруэнтны» обеспечивают упорядочение членов множества вне группы и исключают установление количественных отношений.

Общепринято, что в Евклидовой геометрии проекции объекта сравнивают между собой и измеряют посредством наложения друг на друга путем перемещений (параллельный перенос, вращение, зеркальное отражение) [1-2]. В этом случае части основного понятия (точка, отрезок, плоскость) отображаются на общей основной плоскости, они объединены в группу и вступают в «отношения» – отношения сравнения (измерения). При условии «принадлежит» устанавливаемые отношения между частями обладают свойством однозначности и объективности, что подтверждает практика. Поэтому все «отношения» между основными понятиями осуществляются только, если они расположены на одной общей плоскости, и никакие сравнительные действия с проекциями объекта на ортогональных плоскостях декартовой системы выполнить невозможно, то есть «отношения» между ними отсутствуют.

Таким образом, однозначное и объективное сравнение (измерение) частей целого возможно только при их расположении на целом [3,4].

При переходе от плоскостной геометрии к пространственной в моделях пытались использовать части при отсутствии целого. Частью целого в пространстве Евклида выступает локальная плоскость: например, каждая из плоскостей декартовой системы. Плоскость и ее части для вступления в «отношения» должны располагаться только на одной общей плоскости. При этом каждое из локальных отображений сохраняет индивидуальность, а в целом они обеспечивают объективность модельного представления объекта. «Отношения» между основными понятиями при условиях «между» и «конгруэнтны» могут быть установлены только приближенно, что и подтверждает практика.

Таким образом, в пространственной геометрии Евклида ошибка в связи между основными понятиями выразилась в нарушении одного из основных законов познания – использования частей без целого.

Проективным геометриям свойственна та же ошибка в установлении связи основных понятий. При этом ни одна из проективных геометрий не может однозначно преобразовать отрезок осевой прямой, расположенный ортогонально проективной плоскости (рис.1), что свидетельствует о многозначности проективных геометрий.

Таким образом, при построении пространственных геометрий обнаружены логико-гносеологические ошибки, связанные с неточным установлением связи между основными понятиями, которые привели к установлению ошибочных отношений между ними. Использование частей на целом является объективным законом познания и определяет точность модельного «взаимодействия» основных частей (понятий) объектов, определяя точность познания.

Построим такую геометрическую систему познания пространства, в которой основным понятием является понятие плоскости, а отношения между ее различными модификациями определяются отношениями, установленными гносеологическими правилами.

Рассмотрим общие условия построения такой геометрии.

При построении новой геометрии будем исходить из геометрии Евклида (рис.2А и рис.3А), заданной пространственной декартовой системой координат, которую назовем взаимно-ортогональной системой. Для наглядности выберем объект в виде прямоугольного параллелепипеда (пространственного отрезка прямой). Расположим параллелепипед в взаимно-ортогональной декартовой системе координат параллельно ортам и на одинаковых расстояниях от них. Развернем две из трех локальных плоскостей систем координат (рис.2В) так, чтобы все они расположились в одной третьей плоскости, то есть совершим действия вращения, которые соответствуют действиям Евклидовой геометрии. Получим новую плоско-ортогональную пространственную геометрию Евклида (рис.2В), характеризующуюся всеми ее свойствами, но отличающуюся тем, что отображение точек объекта выполняется не под прямым углом к ее локальным ортогональным системам координат.

Осуществим параллельный перенос с поворотом в горизонтальной плоскости одной из трех систем координат, находящихся в одной плоскости, расположив одну из осей трех локальных систем координат на одной прямой (рис.3С). Получим новую плоско-параллельную пространственную геометрию Евклида, отличающуюся тем, что отображения точек объекта выполняются не под прямым углом к ее локальным системам координат, расположенным по одной прямой на плоскости.

Рассмотрим возможность одновременного использования геометрии Евклида и проективной геометрии. Для этого представим, что в центре каждой локальной системы координат (рис.3С) помещена «точка» отсчета или «глаз» (рис.4). Соединим «точки» отсчета с граничными точками объекта. Любая плоскость Р, помещенная на пути лучей, будет проективной. В качестве такой плоскости может быть выбрана и основная плоскость системы координат («точки» отсчета расположатся за ней). Как бы ни были расположены «точки» отсчета, всегда на основе линейных преобразований отображения на локальных плоскостях могут быть приведены к положению, показанному на рис.3, или к положению при прямых измерениях. В этом случае плоскопараллельная геометрия Евклида отображает и осевую прямую из-за наличия отрезка прямой, соединяющего две «точки» отсчета. Как видно из рис.4, все точки отображений объекта в локальных системах координат аналитически связаны, и все размеры объектов вычисляются и строятся геометрически. Кроме того, два проективных локальных отображения объекта обладают свойством стереоскопии [2,4].

Пространственная плоскопараллельная геометрия Евклида полностью соответствует как принципу объективности и субъективности отображения пространства (в ней соединились общее и частное), так и принципу перспективы и стереоскопии.

Приведенное построение пространственной проективной геометрии Евклида, гармонически сочетающей в себе геометрическую точность и объективность с субъективностью познания, сочетающей категории общего и частного, подтверждает существование одного из основных законов гносеологии - закона точности познания.

Литература.

1. Ф.Клейн. Геометрия.// Элементарная математика с точки зрения высшей. -М.: Наука, 1987. Т.2 - 416 с.

2. Математический энциклопедический словарь. -М: Научное издательство "Большая российская энциклопедия", 1995.- 846с.

3. Философский словарь. Под ред. М. Розенталя -М: Научное издательство "Философский словарь", 1972.- 346с.

4. Большая советская энциклопедия. - М: Издательство "Советская энциклопедия", 1975, Т.12, Т.18, Т.21, Т.29.

5. Гузевич С.Н. Гносеологические корни основных понятий геометрии.