А.А. Егоров

О МЕТОДАХ ПОСТРОЕНИЯ НАУЧНЫХ ТЕОРИЙ

Перед исследователем, стремящимся получить сведения о достижениях научной мысли по поводу Мироздания из чтения книг и прослушанных лекций, всегда возникает проблема обнаружения следов наблюдаемой действительности в той виртуальной реальности, которая с лёгкостью порождается применением современных методов описания любого явления с помощью ли "строго" выведенных уравнений или только слов. Презумпция истинности естественного языка не является преградой для порождения виртуальной реальности, далеко отстоящей от описываемой действительности.

О причинах несоответствия научных теорий действительности.

В качестве объективного фактора несоответствия теорий действительности следует указать на особенности аксиоматического построения теорий. Явные и неявные аксиомы теории задают точку зрения, с которой предполагается рассматривать явления реального мира. Вследствие этого аксиоматический подход всегда односторонен и обладает проекционным свойством, которое выражается в том, что применение к объектам теории теоретических положений оставляет их без изменения. Сами теории при этом, если они внутренне непротиворечивы, оказываются неопровержимыми с помощью лишь теоретических методов. Опровержение теории может быть осуществлено лишь при сопоставлении с практикой. Но для метафизиков виртуальная реальность, создаваемая с помощью надуманных теорий, может оказаться убедительнее, чем непостижимая реальность данного властью чувств Мира. Так инфинитезимальные методы математики, предполагающие по замечанию Л.Эйлера бесконечную делимость вещества, оставляют за рамками теории дискретность реального Мира. Здесь проявляется проекционный характер теоретического знания: бесконечная делимость, вводимая неявно при использовании инфинитезимальных методов математики, не позволяет отразить на теоретическом уровне "ортогональное" свойство – дискретность наблюдаемых систем. Модели при этом оказываются локальными. Согласно атомно-молекулярной теории строения вещества Мир дискретен. Представьте смятение студента-химика, которому на лекции по математике демонстрируют e,d-язык, предполагающий неявно бесконечную делимость вещества, а на лекции по химии объясняют, что качественная определённость вещества, например воды, сохраняется лишь до размеров молекулы, и при разделении молекулы воды возникает новое качественное состояние.

Любая теория содержит некоторый набор неопределяемых понятий. Яркий пример – понятие множества в математике. Авторы-теоретики это положение обычно не обсуждают, ссылаясь при этом на общеизвестность (очевидность, лёгкую контекстную интерпретируемость) употребляемых понятий. По этому поводу заметим следующее:

Во-первых, требование к читателям, слушателям, то есть к тем, кому предназначен научный трактат или научная лекция, по поводу необходимости знания ими некоторых теоретических вопросов и понятий, предваряющих, по мнению лектора, излагаемый им научный материал, является двусмысленным. Это требование можно интерпретировать и как освобождение автора или лектора от знания тех же самых вопросов. Действительно, традиция, восходящая к Вейерштрассу (семидесятые годы XIX века), требует, чтобы учебник по математическому анализу начинался с изложения теории вещественных чисел. А как же за пятьдесят лет до этого излагал анализ О.Коши, один из основоположников теории пределов? Коши просто не заметил, что его прославленное сочинение "Курс анализа" (Париж, 1821 год) предполагало знакомство с этой теорией.

Во-вторых, иногда предварительные требования формулируются в более обтекаемой форме. Так И.Ньютон в пояснениях к основным определениям первой главы своего знаменитого трактата "Математические начала натуральной философии" написал: "Что такое пространство, место, время – все знают". После чего дал определение абстрактного времени как чистой длительности. Первым, кто в этом усомнился, был И.Кант, представивший время как априорную категорию, необходимую для упорядоченного отражения в голове субъекта следующих друг за другом внешних событий. А авторы XX-го века, словно сговорившись, пишут: "Что такое время – никто не знает".

В-третьих, некоторый уровень чисто практических навыков и умений, свойственных нормальному человеку, должен быть в наличии. Так Н.Бурбаки, написавший многотомный труд "Элементы математики", считает необходимым отметить: "Мы не будем обсуждать возможность обучить принципам формализованного языка существа, умственное развитие которых не доходило бы до умения читать, писать и считать".

Это очевидные издержки аксиоматического подхода, создающего иллюзию, что можно раз и навсегда определить некие положения, формулирующие отношения между основными понятиями и пригодные на все случаи жизни. Иначе, единственным логическим основанием для выдвижения требований к наличию предварительных знаний по той или иной дисциплине является предположение о том, что существуют некие единые логические основы теоретического знания. Теорема Курта Геделя о неполноте логических теорий является наиболее сильным возражением такой логистической точке зрения. Но эта теорема, по-видимому, не известна рецензентам некоторых научных журналов, пресекающим любые попытки уклонения от указанного образа мыслей. Редакции научных журналов не принимают к публикации сочинения авторов, предлагающих новый взгляд на вещи, под предлогом, что эти взгляды "не соответствуют современному состоянию науки".

Так рецензент журнала "Электричество" требует "исключить как хорошо известный" вывод (занимающий три строки текста) из законов Ома и Кирхгофа тензорного уравнения метода узловых напряжений. Однако, складывается впечатление, что многоуважаемый рецензент освободил себя от рутины понимания и ему не ведома структура полученной формулы.

В теоретических исследованиях (как и при проверке статистических гипотез) возможны ошибки первого и второго рода. Ошибки второго рода – это ошибки от незнания, уровень которых можно снизить дополнительным изучением объекта исследований. Ошибки первого рода – это ошибки от избытка энтузиазма. Субъективный фактор того, что теории не всегда и не вполне соответствуют характеру наблюдаемых явлений и протекающих в описываемых системах процессов, связан с увлечённым применением сложных теоретических методов авторами – учёными и писателями, необременёнными пониманием реальностей Мира, а попросту говоря, здравым смыслом. Это типичная ошибка первого рода.

Теория, претендующая на практическое применение, необходимо имеет конкретный характер, и строить такие теории нужно конкретно, то есть по предмету исследования. Такой подход противоположен описанному "силовому" методу построения теорий и обучения, которые, особенно обучение, держатся на неискушенности обучаемых и энергии заблуждения преподавателей.

Физический вакуум и философские принципы.

Согласно атомно-молекулярной теории строения вещества тварные тела буквально пронизывает физический вакуум (Эфир, Пустота, Бездна – кому как нравится). Это положение можно рассматривать в качестве достаточного основания для философского принципа всеобщей связи явлений и процессов.

Открытость наблюдаемых систем означает, что через них проходят потоки вещества, энергии, информации. По существу, открытость систем означает невозможность изолированности систем от всепроникающего и всеохватывающего физического вакуума и является, в этом смысле, конкретизацией принципа всеобщей связи.

"Древние" греки понимали, что движение возможно лишь при наличии пустоты. Цицерон, мотивируя написание трактата "О богах", заметил, что "…причиной философии (читай: науки, логики, любой теории), по-видимому, является незнание". Но незнание касается, прежде всего, пустоты, контакт с которой для человека смертелен.

О восприятии предметов в пространстве и времени.

Пространство и время — основные структуры бытия. Причем пространство — наиболее общая экстенсивная структура, отражает свойство сосуществующих одновременно тел, предметов, процессов находиться рядом друг с другом; а время — наиболее общая интенсивная структура, отражает свойство тел, предметов, процессов, событий появляться и происходить в некотором месте последовательно друг за другом. Экстенсивная структура – пространство имеет две подструктуры: экстенсивную – протяженность и интенсивную – границу, разделяющую сосуществующие предметы и процессы. Интенсивная структура – время также имеет две подструктуры: экстенсивную – длительность и интенсивную –мгновение ²теперь², разделяющее прошлое и будущее. Особенности человеческого восприятия таковы, что человек видит и понимает лишь стационарные явления, то есть явления, как бы остановившиеся во времени. Действительно, если, например, легко увидеть брошенный камень в верхней точке его траектории, то этот камень при приближении к земле “уходит” из глаз. Иными словами восприятие таково, что оно элиминирует (исключает, компенсирует) интенсивную структуру — время, выделяя в нем его экстенсивную подструктуру — длительность, в течение которой наблюдаемый процесс мало или медленно меняется и идентифицируется как один и тот же. Именно это свойство человеческого восприятия позволяет говорить, что мы живём в лучшем из миров, поскольку можем наблюдать лишь находящиеся в оптимуме процессы. Быстро меняющиеся процессы человек или не видит или не понимает, что одно и то же. Повседневная, обыденная практика показывает, что человек легко воспринимает дискретность реального мира, то есть легко различает пространственную контрастность и границы, разделяющие предметы, тела и явления. Иными словами восприятие таково, что оно элиминирует экстенсивную структуру — пространство, выделяя в нем его интенсивную подструктуру границу, которую человек только и способен обнаружить и воспринять. Совершенно монотонный пейзаж, где нет ни контрастных деталей, ни границ, выделяющих отдельные предметы, очень быстро утомляет наблюдателя, который оказывается неспособным к его восприятию. Всё, что мы видим, есть граница.

Люди, живущие в потоке времени, не могут из него выйти, а поэтому, что такое время, никто не знает. Подобно тому, как рыбы, живущие в воде, не знают, что такое вода, поскольку при попадании на воздух у них не остается времени для сравнения. Люди, живущие на дне воздушного океана, не знают, что такое пустота или физический вакуум, ибо в вакууме человек умирает мгновенно из-за вскипания газов, растворенных в крови.

Итак, человеческий разум воспринимает и понимает лишь границу стационарных (остановившихся во времени) предметов и процессов. Иными словами: лучший из миров — дискретен. Или более прозаически, исследование следует проводить с позиций открытости, дискретности, экстремальности.

Логика, теория, наука — это то, что осознается человеком, может быть им устно или письменно сообщено другому лицу. Вся такая работа проходит через голову человека, но из 40 миллиардов нейронов в ней занято не более 10% (на самом деле 1/11 часть), остальные 90% нейронов образуют подкорковые структуры, до-рефлекторные и до-логические, обеспечивающие автоматическое выполнение повседневных потребностей и функций организма. Предметы реальной действительности человек воспринимает на уровне подкорок, то есть без логического контроля и цензуры, непосредственно. Такое непосредственное восприятие сообразно реальности, что подтверждается опытом жизни. Логика, теория, наука, философия нужны там, где нет точного знания. Точного же знания нет как раз относительно пустоты, непосредственный контакт с которой для человека смертелен. Философия, логика, теория — все это способы отражения тех или иных сторон всепроникающей пустоты. По принципу подобное отражает подобное, можно сказать, что атрибуты пустоты —это и атрибуты науки. Если в пустоте возможно движение, то и в теории всё возможно. Но при этом теории оказываются, как правило, на 90% (не менее) ошибочными, ложными, неверными. Если конкретное дело можно сделать одним или двумя способами, то ошибкам и заблуждениям несть числа и имя им легион. Если теория воплощается в жизнь, да еще не тем, кто ее придумал, то вероятность ошибки возрастает до двух девяток. При фиксации теоретических успехов в виде научного трактата или статьи вероятность брака становится уже три девятки: согласно библиографическому изданию “Индекс цитирования”, на 1000 статей лишь одна является оригинальной. Риск появления ошибки можно значительно снизить, если строить логику по предмету исследования, сопоставляя теоретические выводы с наблюдениями и опытом.

Локальность моделей.

Локальность проявляется в зависимости переменных-параметров модели от интенсивности взаимодействия элементов описываемой системы, в частности, от координат процесса. Локальность является прямым следствием использования инфинитезимальных методов математики, приспособленных для описания локальных свойств отображений, с помощью которых представляется модель, в некоторой окрестности изменения временных и пространственных координат рассматриваемого явления. Применение инфинитезимальных методов предполагает бесконечную делимость вещества, что находится в определённом противоречии с нормальным восприятием материального Мира. Согласно же проекционному свойству теоретического знания, инфинитезимальные методы оказываются неприемлемыми для описания дискретных систем. Действительно, непрерывность, бесконечная делимость, вводимые неявно при применении инфинитезимальных методов, исключают отражение в таких моделях диаметрально противоположного свойства, каким является дискретность.

Открытые системы и законы сохранения.

При исследовании открытых систем проблематичным оказывается применение законов сохранения. Действительно, законы сохранения справедливы для выделенных тем или иным способом, отграниченных, замкнутых, изолированных систем. При этом уравнения всегда незамкнуты, то есть уравнений сохранения всегда меньше, чем неизвестных, которые эти уравнения связывают. Проблема замыкания ещё ни разу не была решена по настоящему, но лишь декларативно: путём разделения переменных, входящих в уравнения сохранения и в уравнения замыкания, на переменные-координаты, которые можно измерить, и переменные-параметры модели, которые зависят от вводимых гипотез и являются подгоночными коэффициентами, определяемыми в процессе адаптации выдвинутых гипотез к экспериментальным данным. Иначе, законы сохранения верны для выделенных, изолированных, замкнутых систем. Но при рассмотрении систем как выделенных, изолированных, замкнутых нарушается общефилософский принцип всеобщей связи процессов и явлений реального мира, который, вообще говоря, нарушать не следует, поскольку этот принцип, как показывает опыт, – правильный. Гоним названный принцип в дверь, – выделяем систему, он возвращается в окно – уравнения сохранения не замкнуты. При этом построенные теории содержат параметры и имеют локальный характер.

Принципу: "Каждый природный процесс имеет естественный масштаб своего проявления" – противоречит практика описания моделей в относительных единицах с использованием безразмерных критериев подобия, как это делается, например, в аэро- и гидромеханике, и в том числе, энтропийное описание открытых систем, введённое в синергетике. Такие описания не позволяют определить абсолютные размеры системы, но лишь соотношение частей. Этого достаточно, если правильно определён масштаб исследуемого явления. Иначе безразмерные модели повисают в космической пустоте в виде ²коврика космонавта².

Теория открытых дискретных систем.

Построение любой теории связано с обсуждением сопутствующих общенаучных и философских проблем. Такая постановка вопроса является очевидным следствием практики развития научных теорий в двадцатом веке, из которой можно сделать следующие выводы: во-первых, любая теория необходимо имеет проекционный характер и, в этом смысле, аксиомы теории выступают как средство фиксации точки зрения, с которой предполагается вести рассмотрение явлений реального мира; во-вторых, никакая теория не может быть опровергнута чисто теоретически, но лишь при сопоставлении с экспериментом, поэтому задача предварительной умозрительной и логической экспертизы теории является необходимым моментом при ее разработке; в-третьих, в задачу автора-разработчика теории входит приведение убедительных наблюдательных и экспериментальных данных, подтверждающих выдвинутые в процессе теоретизирования гипотезы и их следствия.

Принцип открытости, а по существу, принцип всеобщей связи процессов и явлений, обсуждался выше, и выводом из этого обсуждения явилось то, что применение законов сохранения при описании систем приводит всегда (вследствие незамкнутости законов сохранения) к параметрическим моделям, имеющим локальный характер. Попытки разрабатывать беспараметрические теории предпринимались неоднократно.

Дискретность даёт новую точку зрения на исследуемый Мир – новую проекцию, ортогональную по отношению к инфинитезимальной (континуальной) точке зрения. Указанный подход позволил получить новое знание, а именно, вычислить устойчивые и неустойчивые константы в развитии реальных систем.

Альтернативой инфинитезимальным методам математики выступает энтропийный подход позволяющий удерживать представление об очевидной дискретности систем на уровне теоретического описания и способный дать поэтому глобальное представление о процессах.

Аксиоматика теории открытых дискретных систем.

Введение аксиоматики предполагает построение теории открытых дискретных систем как математической теории, когда из некоторого числа основных положений, называемых аксиомами, выводится максимальное количество следствий.

Проведённые теоретические обоснования позволяют сформулировать следующую основополагающую аксиому.

Аксиома - гипотеза 1. Все реальные, то есть наблюдаемые системы, – это открытые дискретные системы, процессы в которых находятся в экстремальном (стационарном) состоянии.

Таким образом, предполагается проводить исследование с позиций открытости, дискретности, экстремальности.

Уравнение для энтропии открытой системы.

Относительная энтропия системы определяется по формуле:

, где - число состояний, - вероятность, .

Значение величины лежит в интервале [0,1]. Введем избыточность как величину, (нестрого) дополняющую до 1, т.е.

. (1)

Стационарность состояния открытой системы характеризуется тем, что скорость порождения относительной энтропии в ней не слишком велика. Предложено следующее соотношение, отражающее экстремальность стационарных состояний:

(2)

Трехкратным интегрированием получаем

(3)

где - постоянные интегрирования.

Положим: (4)

Из соотношений (4) следует уравнение для предельного значения относительной энтропии, которое она принимает в установившемся режиме (на бесконечности):

(5)

Для произвольного момента времени, положим, что относительная энтропия удовлетворяет соотношению:

(6)

где переменная s, согласно соотношениям (3), (4), (5), изменяется от 0 до 1 и может быть названа собственным временем открытой системы.

Решения уравнения (6) при целых k и целых s называются ks-инвариантами — обобщенными золотыми сечениями. Такое определение связано с тем, что, например, среди них находится знаменитое число Фибоначчи Ф = 0.618034…, которое является 2,1-инвариантом. Решения при целых k и целых s соответствуют устойчивым состояниям открытой системы, при целых k и полуцелых s - неустойчивым состояниям.

Обобщение принципа дискретности заключается в распространении его на значения энтропийных и энтропиеподобных функционалов систем, находящихся в устойчивом состоянии.

Аксиома - гипотеза 2. Относительная энтропия наблюдаемой открытой системы принимает дискретные значения, при этом целым значениям величин k и s соответствуют устойчивые состояния системы, а полуцелым значениям - неустойчивые.

Пример 1. Так растет тростник. Это явление было исследовано с количественной стороны. Результаты представлены в табл. 1., где величина — относительная энтропия, а величина s, характеризующая динамику роста растений в период вегетации, вычисляется из соотношения (6) при k=2.

Таблица 1.

Динамика биомассы тростника по месяцам в естественном состоянии

(на 1 м² зарослей, г).

Вид	Месяцы
Биомассы	4	5	6	7	8	9	10
Общая	3245	3401	3597	4170	4421	4504	4531
%	100	100	100	100	100	100	100
Надземная	0	137	299	581	698	709	689
P1 %	0	4	8.3	13.9	15.8	15.7	15.2
Подземная	3245	3264	3298	3589	3723	3795	3842
P2 %	100	96	91.7	86.1	84.2	84.3	84.8
H	0	0.241	0.413	0.581	0.630	0.627	.614
s при k=2	0	0.077	0.291	0.805	1.073	1.055	.977

Динамика роста, характеризуемая изменением величины s (см. рис.1., правый), показывает, что полуцелое значение s = 0.5 проходится с наибольшей скоростью, то есть соответствует неустойчивому состоянию системы. При этом крайние состояния при s = 0 и s = 1 являются устойчивыми.

Величина s отражает внутреннюю динамику развития открытой системы, являясь, по существу, системным временем, темп которого определяется интенсивностью обменных процессов, протекающих в системе. Максимальная скорость изменения координаты s для тростника – это середина лета, когда поток солнечной радиации максимален. Предложенная общность рассмотрения позволяет обсуждать с единых позиций любые открытые, самоорганизующиеся и развивающиеся системы.

Как видно из табл. 1, относительная энтропия в процессе роста достигает некоторого постоянного уровня, значение которого не очень сильно отличается от значения числа Ф (см. рис.1., левый). Кривая изменения величины s во времени имеет S-образный характер. Рассмотренный пример подтверждает очевидную мысль о существовании устойчивых и неустойчивых состояний в процессе развития и роста открытой системы, какой является любой биоценоз и тростниковые заросли, в том числе.

Рис.1. Так растет тростник. Изменение энтропии H и координаты s в процессе роста тростника.

Замечание к примеру 1. Уравнение (5) для энтропии стационарных состояний открытых систем было выведено другим способом в работах Э.М.Сороко.

Научное описание Природы, движения, изменения вообще, происходит с помощью понятий пространства, времени, вещества. «В своих ²Principia² Ньютон даёт разъяснения и определения основных понятий механики: массы, времени, пространства, силы, а также устанавливает основные законы (аксиомы) движения». Механическое движение исследуется с привлечением понятий: координата, расстояние, сила, энергия, импульс, момент импульса и т.д. Исследование механизма взаимодействия тел привело к понятию среды, в которой возможно движение и через которую передаются взаимодействия. Спектр названий для этой среды: физическое поле, вакуум, эфир, пустота, бездна, - кому как нравится. Согласно современным воззрениям пустота буквально пронизывает все предметы тварного мира.

Аристотель зафиксировал представление о непрерывности движения. Во времена Ньютона это положение считалось незыблемым и было введено им в механику. Аристотелю приписывают создание логики, по крайней мере, он написал “Логику”, где зафиксировал идущую от Сократа устную традицию рассуждать доказательно. Если это так, то возникает вопрос: “Зачем он это сделал?”. Ответ дал римлянин Цицерон, который предпослал своей “Философии” по существу тот же вопрос: “Зачем нужна философия?”. Его ответ годится на все времена: “Философия нужна там, где у нас нет точного знания”. Отрицательную, ограничительную роль философии и логики отмечал И. Кант. Следуя им, отметим: «Степень логичности наших рассуждений отражает степень нашего незнания». А по-русски так: «Если у ученого глаза круглые и говорит логично, то он, скорее всего, сочиняет». Интуитивный вывод Великих получил отражение не только в фольклоре. В 1931 году К. Гедель доказал теорему «О неполноте логических теорий», которую трактуют как теорему о (логической) недоказуемости истины.

Основная проблема естествознания.

Образно положение в современной науке отразила ученый-астроном С.А. Толчельникова-Мурри: “Сейчас в защите нуждается не материализм или идеализм, но наивный реализм Святого Фомы Аквинского, верившего в существование видимого мира, дарованного Человеку властью чувств, которые от Бога. В защите сегодня нуждается Красота”.

Если считать, что Красота и Жизнь — одно и то же, то проблема обозначена. С одной стороны Жизнь, представленная видимым миром, с другой умопостигаемая Пустота. При этом проблема Пустоты – это проблема описания механизма передачи взаимодействия тел тварного мира на микроуровне.

Естественным начальным шагом на подступах к решению этой проблемы, когда речь идет лишь о констатации наличия взаимодействий без каких-либо попыток описания механизма их передачи, является комбинаторное описание взаимодействий между элементами двух типов, составляющими систему.

Развитие теории связано с рассмотрением энтропиеподобных функционалов, представляющих собой обобщённые аддитивные функции, заданные на мультипликативных структурах взаимодействующих в системе частиц, то есть логарифмы величин, с помощью которых подсчитывается число возможных взаимодействий внутри системы.

Энтропиеподобные функционалы.

Введены энтропиеподобные функционалы, которые заданы на временных в преемственности поколений и пространственных взаимодействиях частиц, составляющих систему, и которые, таким образом, представляют собой функции, вычисляемые на мультипликативных структурах этих пространственно временных взаимодействий. Ниже рассмотрен пример вычисления энтропиеподобного функционала в экосистеме ²².

Задача 1. О равновесии в системе, содержащей два типа частиц.

Схему взаимодействия между частицами типа и частицами типа можно представить в виде следующей диаграммы

, (7)

на которой соответствия (стрелки) и обозначают связь последовательных поколений, а соответствие обозначает воздействие частиц типа на частицы типа в n-ом поколении.

Основной принцип термодинамики состоит в том, что реализуются те макросостояния, которым соответствует максимальное число совместимых с ними микросостояний. Абстракция различения-отождествления такова: частицы типа и частицы типа отличаются друг от друга, но частицы одного типа между собой не различаются ничем. Взаимодействие частиц в преемственности поколений описывается с помощью соответствий, обладающих свойствами инъективности и сюръективности. А взаимодействие между частицами типа и частицами типа , описывается с помощью инъективных соответствий. Этих предположений достаточно для описания взаимодействий на диаграмме , отражающей факт устойчивого сосуществования частиц типа и частиц типа в единой системе.

Общее число соответствий типа воспроизводства поколений, отмеченных на диаграмме стрелками , , дается формулами:

, а .

Число соответствий типа есть .

Составим следующий функционал (энтропиеподобный):

,

который получается логарифмированием частного от деления числа на произведение двух других. Устойчивости наблюдаемой системы соответствует в теории то, что функционал принимает экстремальное значение при естественном ограничении где s - константа.

Решение получается путем подстановки величины z, представленной в виде функции от w в выражение для функционала. Получаем:

После дифференцирования функции G по w и приравнивания производной к нулю получается уравнение относительно w:

.

Откуда выводим:

где e — основание натуральных логарифмов.

Рассмотрим систему V, численность которой v = z + w.

Тогда формула:, (8)

представляет собой число частиц (дискретов, элементов) системы, параметризованное неотрицательной Фибоначчиевой координатой s.

Определение – гипотеза 3. Целым значениям величины s соответствуют устойчивые состояния системы, полуцелым значениям s - неустойчивые состояния.

Отношение численностей двух последовательных устойчивых уровней дается асимптотической формулой:

. (9)

Выводы по теоретической части.

Обобщение принципа дискретности заключается в распространении его на значения энтропийных и энтропиеподобных функционалов систем, находящихся в устойчивом (стационарном) состоянии.

Главный вывод теории представлен формулой (8), в которой согласно определению-гипотезе 3., целым значениям координаты s соответствуют устойчивые состояния системы, полуцелым значениям s – неустойчивые состояния.

Известный автору наблюдательный и экспериментальный материал не противоречит ни содержанию этой гипотезы, ни количественному выражению волн развития и жизни открытых систем.

В табл. 2 приведены значения величины v(s) для целых и полуцелых значений координаты s.

Таблица 2.

Значения функции для s от 1 до 11

s	v	s	v	s	V
1	1.735	2.837	30	6	120153
1.118	2	2.970	40	6.5	530529
1.451	3	3	43	7	2.42 млн.
1.5	3.190	3.371	100	7.5	11.4 млн.
1.956	6	3.5	136.3	8	55.5 млн.
2	6.415	4	474.9	8.5	277.6 млн.
2.056	7	4.020	500	9	1.43 млрд.
2.492	15	4.5	1765	9.5	7.5 млрд.
2.5	15.22	5	6903	10	40.4 млрд.
2.640	20	5.5	28229	11	1.259×10^12

Экспериментальное подтверждение теоретических положений.

В теории открытых дискретных систем предлагается метод построения моделей, который приводит к беспараметрическим и замкнутым соотношениям теории. Именно таким является соотношение (8), в котором левая часть представляет число однородных частиц, составляющих систему, а правая часть представляет собой функцию от координаты устойчивости, которую также можно назвать Фибоначчиевой координатой, или собственным временем системы, поскольку эта координата считает проходимые системой в процессе её развития устойчивые и неустойчивые состояния.

Экспериментальные доказательства установленной закономерности опираются на опытные данные, относящиеся к различным областям науки, техники, технологии.